Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estime a fração de moléculas de N2 que, a 500 K, têm velocidades no intervalo de 290 a 300 m s^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimar a fração de moléculas de N2 que, a uma temperatura de 500 K, têm velocidades entre 290 e 300 m/s. Para isso, vamos usar a distribuição de velocidades de Maxwell, que descreve como as velocidades das moléculas gasosas estão distribuídas em diferentes temperaturas. Basicamente, ela nos ajuda a entender quantas moléculas estão se movendo em certas velocidades dentro de um gás.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar moléculas com uma certa velocidade em um gás ideal. A fórmula é:
f(v) = ( m2pi k T )^3/2 4pi v^2 e^-mv^22kT
Onde:
  • f(v) é a função de distribuição.
  • m é a massa de uma molécula.
  • k é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K).
  • T é a temperatura em Kelvin.
  • v é a velocidade das moléculas.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a fração de moléculas que têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s. Para isso, precisamos calcular a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade nessa faixa. Isso é feito integrando a função de distribuição de Maxwell nesse intervalo:
P = integral290^300 f(v) , dv

Passo 4

Antes de calcular, vamos identificar os valores que vamos usar:
  • Massa de uma molécula de N2: a massa molecular do N2 é aproximadamente 28 , g/mol. Convertendo para kg, temos 28 times 10^-3 , kg/mol. Como uma molécula tem 1/ NA mol (onde NA é o número de Avogadro, 6,022 times 10^23 , mol^-1), a massa de uma molécula é:
m = 28 times 10^-36,022 times 10^23 approx 4,65 times 10^-26 , kg
  • Temperatura T = 500 , K

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na função f(v):
f(v) = ( 4,65 times 10^-262pi times 1,38 times 10^-23 times 500 )^3/2 4pi v^2 e^-4,65 times 10^-26 times v^22 times 1,38 times 10^-23 times 500
Vamos simplificar os cálculos passo a passo.

Passo 6

Calculando o expoente:
mv^22kT = 4,65 times 10^-26 times v^22 times 1,38 times 10^-23 times 500 = 4,65 times 10^-26 times v^21,38 times 10^-20 approx 3,37 times 10^-6 times v^2
Para v na faixa de 290 a 300 m/s, vamos calcular para v = 290 e v = 300:
  • Para v = 290 m/s:
3,37 times 10^-6 times (290)^2 approx 3,37 times 10^-6 times 84100 approx 0,283
  • Para v = 300 m/s:
3,37 times 10^-6 times (300)^2 approx 3,37 times 10^-6 times 90000 approx 0,303

Passo 7

Agora, a função f(v) fica:
f(v) approx ( 4,65 times 10^-262pi times 1,38 times 10^-23 times 500 )^3/2 4pi v^2 e^-0,283 a -0,303
Vamos calcular a parte constante:
( 4,65 times 10^-262pi times 1,38 times 10^-23 times 500 )^3/2 approx ( 4,65 times 10^-264,34 times 10^-20 )^3/2 approx (1,07 times 10^-6)^3/2 approx 1,11 times 10^-9

Passo 8

Agora, substituindo de volta na função f(v):
f(v) approx 1,11 times 10^-9 times 4pi v^2 e^-0,283 a -0,303
Vamos simplificar:
f(v) approx 4,44 times 10^-9 pi v^2 e^-0,283 a -0,303

Passo 9

Agora, para encontrar a fração P, precisamos integrar f(v) de 290 a 300 m/s:
P = integral290^300 4,44 times 10^-9 pi v^2 e^-0,283 a -0,303 , dv
Como a faixa de velocidades é pequena, podemos aproximar e^-0,283 a -0,303 como constante na média desses valores:
Média do expoente:
0,283 + 0,3032 = 0,293
Então,
P approx 4,44 times 10^-9 pi times e^-0,293 times integral290^300 v^2 , dv

Passo 10

Calculando a integral de v^2 de 290 a 300:
integral v^2 , dv = v^33
Avaliado de 290 a 300:
300^3 - 290^33 = 27.000.000 - 24.389.0003 = 2.611.0003 approx 870.333 , m^3/s^3

Passo 11

Agora, substituindo de volta:
P approx 4,44 times 10^-9 times 3,1416 times e^-0,293 times 870.333
Calculando e^-0,293 approx 0,746
Então,
P approx 4,44 times 10^-9 times 3,1416 times 0,746 times 870.333 approx 4,44 times 10^-9 times 3,1416 times 0,746 times 870,333 approx 8,96 times 10^-6

Resposta

A fração de moléculas de N2 que, a 500 K, têm velocidades entre 290 e 300 , m/s é aproximadamente 8,96 times 10^-6, ou seja, cerca de 0,000896%.

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