Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estime a fração de moléculas de
que, a 500 K, têm velocidades no intervalo de 290 a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimar a fração de moléculas de
que, a uma temperatura de 500 K, têm velocidades entre 290 e 300 m/s. Para isso, vamos usar a distribuição de velocidades de Maxwell, que descreve como as velocidades das moléculas gasosas estão distribuídas em diferentes temperaturas. Basicamente, ela nos ajuda a entender quantas moléculas estão se movendo em certas velocidades dentro de um gás.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar moléculas com uma certa velocidade em um gás ideal. A fórmula é:
Onde:
-
é a função de distribuição. -
é a massa de uma molécula. -
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a temperatura em Kelvin. -
é a velocidade das moléculas.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a fração de moléculas que têm velocidades entre 290 m/s e 300 m/s. Para isso, precisamos calcular a probabilidade de uma molécula ter uma velocidade nessa faixa. Isso é feito integrando a função de distribuição de Maxwell nesse intervalo:
Passo 4
Antes de calcular, vamos identificar os valores que vamos usar:
- Massa de uma molécula de
: a massa molecular do é aproximadamente . Convertendo para kg, temos . Como uma molécula tem mol (onde é o número de Avogadro, ), a massa de uma molécula é:
- Temperatura
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na função
:
Vamos simplificar os cálculos passo a passo.
Passo 6
Calculando o expoente:
Para
na faixa de 290 a 300 m/s, vamos calcular para
e
:
- Para
m/s:
- Para
m/s:
Passo 7
Agora, a função
fica:
Vamos calcular a parte constante:
Passo 8
Agora, substituindo de volta na função
:
Vamos simplificar:
Passo 9
Agora, para encontrar a fração
, precisamos integrar
de 290 a 300 m/s:
Como a faixa de velocidades é pequena, podemos aproximar
como constante na média desses valores:
Média do expoente:
Então,
Passo 10
Calculando a integral de
de 290 a 300:
Avaliado de 290 a 300:
Passo 11
Agora, substituindo de volta:
Calculando
Então,
Resposta
A fração de moléculas de
que, a 500 K, têm velocidades entre 290 e
é aproximadamente
, ou seja, cerca de 0,000896%.