Usando a distribuição de velocidades de Maxwell, estime a fração de moléculas de CO2 que, a 300 K, têm velocidades no intervalo de 200 a
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para estimar a fração de moléculas de CO₂ que, a 300 K, têm velocidades entre 200 e 250 m/s usando a distribuição de velocidades de Maxwell. Isso envolve conceitos de física dos gases, especificamente a distribuição de Maxwell, que descreve como as velocidades das moléculas estão distribuídas em um gás a uma certa temperatura. Para resolver, vamos precisar conhecer a massa molar do CO₂, a temperatura fornecida e aplicar a fórmula da distribuição de Maxwell para calcular a fração desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Maxwell. Ela nos dá a probabilidade de encontrar moléculas de um gás com uma certa velocidade em uma temperatura específica. A fórmula dessa distribuição é:
Onde:
- $ f(v) $ é a função de distribuição de velocidades.
- $ m $ é a massa de uma molécula do gás.
- $ k_B $ é a constante de Boltzmann (
). - $ T $ é a temperatura em Kelvin.
- $ v $ é a velocidade das moléculas.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
- Temperatura $ T = 300 , K $
- Velocidade inicial $ v_1 = 200 , m/s $
- Velocidade final $ v_2 = 250 , m/s $
- Massa molar do CO₂ é aproximadamente $ 44 , g/mol $. Primeiro, precisamos converter isso para a massa de uma molécula:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores na fórmula da distribuição de Maxwell. Mas como queremos a fração de moléculas entre 200 e 250 m/s, precisamos integrar $ f(v) $ de 200 a 250 m/s:
Para simplificar a integração, podemos usar uma calculadora ou software que suporte integrais numéricas, pois a integral da distribuição de Maxwell não possui uma solução analítica simples.
Passo 5
Antes de integrar, vamos calcular alguns termos constantes da função:
Passo 6
Agora, montamos a função de distribuição com os valores:
Simplificando o expoente:
Então:
Passo 7
Para encontrar a fração, vamos calcular a integral de $ f(v) $ de 200 a 250 m/s:
Isso pode ser feito numericamente. Utilizando métodos numéricos (como a regra dos trapézios ou Simpson), obtemos aproximadamente:
Resposta
A fração de moléculas de CO₂ a 300 K com velocidades entre 200 e 250 m/s é aproximadamente 13,5%.