Usando o exercício anterior, prove que são irracionais:
(a) raiz3
(b) raiz[4]5
© raizp, com p um número primo.
(d) raiz3+raiz5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que várias raízes são irracionais usando prova por absurdo e o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos). Vamos assumir que cada número é racional, escrevê-lo como p/q em forma irredutível e chegar a uma contradição envolvendo divisibilidade por primos.

Passo 2

Para (a), suponha que raiz3=p/q com p,q inteiros primos entre si. Elevando ao quadrado fica 3q^2=p^2. Daí 3 divide p^2, logo 3 divide p. Escreva p=3k. Substituindo, temos 3q^2=9k^2, ou seja q^2=3k^2. Isso mostra que 3 divide q também. Então p e q têm 3 em comum, contradizendo a irredutibilidade de p/q. Logo raiz3 é irracional.

Passo 3

Para (b), suponha que raiz[4]5=p/q em forma irredutível. Elevando à quarta potência dá 5q^4=p^4. Como 5 divide p^4, 5 divide p. Escreva p=5k. Então 5q^4=625k^4 implica q^4=125k^4, mostrando que 5 também divide q. Novamente isso contradiz a irredutibilidade de p/q. Portanto raiz[4]5 é irracional.

Passo 4

Para ©, o raciocínio é igual ao do item (a), mas com um primo genérico p. Suponha raizp=p1/q1 em forma irredutível. Então pq1^2=p1^2 força p a dividir p1 e depois também q1, contradizendo a forma irredutível. Concluímos que raizp é irracional sempre que p é primo.

Passo 5

Para (d), suponha que s=raiz3+raiz5 seja racional. Então s^2=3+5+2raiz15=8+2raiz15 é racional, o que implica raiz15 é racional. Mas já sabemos que se uma raiz quadrada de inteiro não quadrado é racional, dá contradição igual ao caso (a). Logo raiz15 é irracional, e assim s não pode ter sido racional. Portanto raiz3+raiz5 é irracional.

Resposta

a) irracional; b) irracional; c) irracional; d) irracional

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