Usando o exercício anterior, prove que são irracionais:
(a)
(b)
©
, com
um número primo.
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que várias raízes são irracionais usando prova por absurdo e o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos). Vamos assumir que cada número é racional, escrevê-lo como
em forma irredutível e chegar a uma contradição envolvendo divisibilidade por primos.
Passo 2
Para (a), suponha que
com
inteiros primos entre si. Elevando ao quadrado fica
. Daí 3 divide
, logo 3 divide
. Escreva
. Substituindo, temos
, ou seja
. Isso mostra que 3 divide
também. Então
e
têm 3 em comum, contradizendo a irredutibilidade de
. Logo
é irracional.
Passo 3
Para (b), suponha que
em forma irredutível. Elevando à quarta potência dá
. Como 5 divide
, 5 divide
. Escreva
. Então
implica
, mostrando que 5 também divide
. Novamente isso contradiz a irredutibilidade de
. Portanto
é irracional.
Passo 4
Para ©, o raciocínio é igual ao do item (a), mas com um primo genérico
. Suponha
em forma irredutível. Então
força
a dividir
e depois também
, contradizendo a forma irredutível. Concluímos que
é irracional sempre que
é primo.
Passo 5
Para (d), suponha que
seja racional. Então
é racional, o que implica
é racional. Mas já sabemos que se uma raiz quadrada de inteiro não quadrado é racional, dá contradição igual ao caso (a). Logo
é irracional, e assim
não pode ter sido racional. Portanto
é irracional.
Resposta
a) irracional; b) irracional; c) irracional; d) irracional