Se x in R tem a propriedade que 0 <= x para todo número real positivo h prove que x=0.

Passo 1

Queremos provar que, se um número real x satisfaz 0 <= x < h para todo h>0, então necessariamente x=0. O conteúdo aqui envolve argumentos de desigualdades e prova por contradição no conjunto dos números reais.

Passo 2

Suponha, por contradição, que x>0. Nesse caso, podemos definir o número positivo h = tfracx2, pois a divisão de um número positivo por 2 continua positiva.

Passo 3

Pela hipótese do problema, deve valer x < h. Substituindo h = tfracx2 obtemos a desigualdade x < tfracx2. Dividindo ambos os lados por x>0 (que é permitido) teríamos 1 < tfrac12, o que é absurdo.

Passo 4

Esse absurdo mostra que a hipótese x>0 é falsa. Como já sabemos que 0 <= x, concluímos que x não pode ser estritamente positivo e, portanto, tem que ser x=0.

Resposta

x = 0

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