Usando a fórmula dada pelo teorema de Abel para o wronskiano de duas soluções da equação diferencial, sem resolver a equação exiba o wronskiano de cada uma das equações a seguir:
Equação de Bessel: x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-v^2) y=0.

Passo 1

Estamos lidando com a equação de Bessel de ordem ν, dada por
x^2y''+x y'+(x^2-nu^2)y=0
O que precisamos: usar o Teorema de Abel para obter o wronskiano sem resolver a equação.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y’’+p(x)y’+q(x)y=0, dividindo tudo por x^{2}. Assim,
y''+1xy'+l(1-nu^2x^2r)y=0
Desse modo identificamos p(x)=1/x.

Passo 3

Pelo Teorema de Abel, o wronskiano W(x) de duas soluções qualquer é
W(x)=Cexpgl(-integral p(x),dxgr)=Cexpl(-integral1xdxr)=Cx
onde C é uma constante que depende da escolha das soluções. Para o par usual J_{\nu}(x),Y_{\nu}(x), toma-se C=2/\pi, dando W(J_{\nu},Y_{\nu})=2/(\pi x).

Resposta

Para a equação de Bessel, o wronskiano geral é W(x)=C/x. Em particular, para as soluções J_{ν} e Y_{ν}, W(J_{ν},Y_{ν})=2/(π x).

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