Usando o item 1) b), mostre que se u é um vetor constante, então nabla times(u times r)=2 u.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \nabla ×(\vec{u} ×\vec{r}) = 2\vec{u} quando \vec{u} é constante, usando a identidade de cálculo vetorial do item 1) b). O conteúdo envolve operações de circulação (rotacional) e produto vetorial e vamos precisar da fórmula geral para o rotacional de um produto vetorial.

Passo 2

A identidade que vamos usar é aquela para o rotacional de um produto vetorial:
nabla times (A times B) = (B cdot nabla)A - (A cdot nabla)B + A,(nabla cdot B) - B,(nabla cdot A)
Aqui definimos \vec{A} = \vec{u} (constante) e \vec{B} = \vec{r}.

Passo 3

Agora calculamos cada termo separadamente:
  1. Como \vec{u} é constante, (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{u} = \vec{0}.
  2. O operador direcional (\vec{u}\cdot\nabla) aplicado em \vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} dá justamente \vec{u}, pois
$$
(\vec{u}\cdot\nabla)\vec{r} = u_x\frac{\partial}{\partial x}(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}) + u_y\frac{\partial}{\partial y}(\cdots) + u_z\frac{\partial}{\partial z}(\cdots) = u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k} = \vec{u}.
$$
  1. A divergência de \vec{u} é zero porque é constante: \nabla\cdot\vec{u}=0.
  2. A divergência de \vec{r} é 3, já que \displaystyle\nabla\cdot\vec{r}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.

Passo 4

Substituindo na identidade:
$$
\nabla \times (\vec{u} \times \vec{r}) = (\vec{r}\cdot\nabla)\vec{u} - (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{r} + \vec{u}\,(\nabla\cdot\vec{r}) - \vec{r}\,(\nabla\cdot\vec{u})
$$
Fica
$$
\nabla \times (\vec{u} \times \vec{r}) = \vec{0} - \vec{u} + \vec{u}\cdot 3 - \vec{r}\cdot 0 = -\vec{u} + 3\vec{u} = 2\vec{u}.
$$
Assim chegamos ao resultado desejado.

Resposta

$2\vec{u}$

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