Usando que lim x 0 a^x-1x=ln a para a>0, calcule:
(a)
lim x 2 5^x-25x-2
(b)
lim x 0 e^-x-e^-2 xx
(c)
lim x -3 4^x+35-1x+3
(d)
lim x 2 10^x-2-1x-2

Passo 1

O enunciado nos dá quatro limites envolvendo funções exponenciais e afirma que para a>0 vale
limxto0a^x-1x=ln a
Vamos aplicar essa propriedade a cada caso, fazendo mudanças de variável que transformem o limite dado no padrão acima.

Passo 2

Para (a) faça a substituição h=x-2. Então x=2+h e hto0. Reescrevendo o quociente:
5^x-25x-2 =5^2+h-5^2h =5^2l(5^h-1r)h =25cdot5^h-1h
Como limhto05^h-1h=ln5, segue
limxto25^x-25x-2=25ln5

Passo 3

Para (b) observe
e^-x-e^-2xx =e^-2x,e^x-1x
Quando xto0 temos e^-2xto1 e e^x-1xtoln e=1. Logo
limxto0e^-x-e^-2xx=1

Passo 4

Para (c) defina h=x+3. Então x=-3+h e hto0. O quociente fica
4^x+35-1x+3 =4^,h5-1h =4^h5-1h5cdot15 toln4cdot15 =ln45

Passo 5

Para (d) use h=x-2. Então
10^x-2-1x-2 =10^h-1h toln10

Resposta

(a) 25ln5
(b) 1
(c) ln45
(d) ln10

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