Usando os limites fundamentais, calcule:
lim x pi2 1-sen xpi2-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limx to pi2 1 - sin xpi2 - x
Usando limites fundamentais (como limuto0sin uu=1) e identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos fazer a troca de variável
h = pi2 - x
Quando x to pi2, então h to 0. Além disso, sin x = sinl(tfracpi2 - hr) = cos h. O limite original vira
limh to 0 1 - cos hh

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
$$1 - \cos h = 2\sin^2\Bigl(\frac{h}{2}\Bigr).
$$
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$$\frac{1 - \cos h}{h} = \frac{2\sin^2\bigl(\frac{h}{2}\bigr)}{h}.
$$

Passo 4

Reescrevendo em termos do limite fundamental limuto0sin uu=1:
2sin^2l(h2r)h = 2, l(sin(tfrach2)tfrach2r)^2 cdot h4 = 2 cdot 1^2 cdot 0 = 0
Portanto o limite vale zero.

Resposta

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