Usando o método da bissecção, determine uma raiz da função f(x)=x^{3}- \operatorname{sen}(x) no intervalo [0.8,1] com precisão \epsilon=0.006.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bissecção para determinar uma raiz de \,f(x)=x^{3}-\sin(x)\, no intervalo inicial com extremidades
\,a=0,8\, e \,b=1\,, com precisão exigida \,\epsilon=0,006\,.
Informações dadas e o que precisamos obter:
  • Função: \,f(x)=x^{3}-\sin(x)\,.
  • Intervalo inicial: \,a=0,8 e b=1.
  • Precisão solicitada: \,\epsilon=0,006.
  • Objetivo prático: encontrar um ponto \,x_{\text{aprox}} tal que a distância máxima entre x_{\text{aprox}} e a raiz verdadeira seja no máximo \epsilon (vamos usar o critério clássico do método da bissecção baseado no tamanho do intervalo residual).

Passo 2

Explicando o método da bissecção (aulas rápidas e úteis antes de aplicar):
  • A ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz em (a,b). Tomamos o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avaliamos f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 temos a raiz exata. Se f\text{(c)} tem sinal oposto ao de f(a), a raiz está em [a,c]; caso contrário está em [c,b]. Repetimos o procedimento sobre o subintervalo que contém a raiz.
  • Cota de erro útil: após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n=\frac{b-a}{2^{n}}.
O erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo atual como aproximação é no máximo a metade desse comprimento:
\text{erro máximo}\le\frac{L_n}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.á
Queremos que esse erro máximo seja \le\epsilon. Assim, basta escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n+1}}\le\epsilon\quad\Longleftrightarrow\quad 2^{n+1}\ge\frac{b-a}{\epsilon}.
  • Vamos calcular quantas iterações são necessárias com os valores dados:
b-a=1-0,8=0,2.
\frac{b-a}{\epsilon}=\frac{0,2}{0,006}\approx33{,}3333.
Tomando logaritmo em base 2,
n+1\ge\log_{2}\left(33{,}3333\right)\approx5{,}059\quad\Rightarrow\quad n\ge4{,}059.
Portanto precisamos de, pelo menos, n=5 iterações para garantir \frac{b-a}{2^{n+1}}\le\epsilon. Vou então executar 5 iterações da bissecção, mostrando os cálculos passo a passo.

Passo 3

Verificar que há mudança de sinal em [0,8,\,1]:
f(0,8)=(0,8)^3-\sin(0,8)=0,512-\sin(0,8).
Usando aproximações conhecidas para o seno:
\sin(0,8)\approx0,717356,
logo
f(0,8)\approx0,512-0,717356=-0,205356\quad(\text{negativo}).
f(1)=1^{3}-\sin(1)=1-\sin(1).
\sin(1)\approx0,841471\quad\Rightarrow\quad f(1)\approx1-0,841471=0,158529\quad(\text{positivo}).
Como f(0,8)\cdot f(1)<0, existe raiz em (0,8,\,1). Vamos à bissecção.

Passo 4

Iteração 1:
c_{1}=\frac{0,8+1}{2}=0,9.
f(0,9)=(0,9)^3-\sin(0,9)=0,729-\sin(0,9).
\sin(0,9)\approx0,783327\quad\Rightarrow\quad f(0,9)\approx0,729-0,783327=-0,054327\quad(\text{negativo}).
Sinais: f(0,9) e f(0,8) são negativos, enquanto f(1) é positivo. Logo a raiz está no subintervalo [0,9,\,1].

Passo 5

Iteração 2:
c_{2}=\frac{0,9+1}{2}=0,95.
f(0,95)=(0,95)^3-\sin(0,95)=0,857375-\sin(0,95).
\sin(0,95)\approx0,813416\quad\Rightarrow\quad f(0,95)\approx0,857375-0,813416=0,043959\quad(\text{positivo}).
Agora f(0,9)<0 e f(0,95)>0. Portanto a raiz está em [0,9,\,0,95].

Passo 6

Iteração 3:
c_{3}=\frac{0,9+0,95}{2}=0,925.
f(0,925)=(0,925)^3-\sin(0,925)=0,791453125-\sin(0,925).
Estimando \sin(0,925) por interpolação entre \sin(0,9) e \sin(0,95):
\sin(0,925)\approx0,798371.
Logo
f(0,925)\approx0,791453125-0,798371=-0,006918\quad(\text{negativo}).
Assim a raiz está em [0,925,\,0,95].

Passo 7

Iteração 4:
c_{4}=\frac{0,925+0,95}{2}=0,9375.
f(0,9375)=(0,9375)^3-\sin(0,9375)=0,823974609375-\sin(0,9375).
Estimando \sin(0,9375) (aproximação entre \sin(0,925) e \sin(0,95)):
\sin(0,9375)\approx0,805893.
Logo
f(0,9375)\approx0,823974609375-0,805893=0,018082\quad(\text{positivo}).
Portanto a raiz está em [0,925,\,0,9375].

Passo 8

Iteração 5:
c_{5}=\frac{0,925+0,9375}{2}=0,93125.
f(0,93125)=(0,93125)^3-\sin(0,93125)=0,807604736328125-\sin(0,93125).
Estimando \sin(0,93125) (entre \sin(0,925) e \sin(0,9375)):
\sin(0,93125)\approx0,802132.
Logo
f(0,93125)\approx0,8076047363-0,802132=0,005473\quad(\text{positivo}).
Agora f(0,925)<0 e f(0,93125)>0. O novo intervalo que contém a raiz é [0,925,\,0,93125].

Passo 9

Verificação da precisão pedida:
  • Comprimento do intervalo final:
b_{5}-a_{5}=0,93125-0,925=0,00625.
  • Metade desse comprimento (cota de erro ao usar o ponto médio) é
\frac{b_{5}-a_{5}}{2}=0,003125\le0,006=\epsilon.
Portanto qualquer ponto dentro do intervalo final tem erro máximo \le\epsilon. É habitual tomar como aproximação a \emph{média} dos extremos do intervalo final, ou seja o ponto médio atual:
x_{\text{aprox}}=\frac{0,925+0,93125}{2}=0,928125.

Resposta

x\approx0,928125

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