Usando o método da bissecção, determine uma raiz da função
no intervalo
com precisão
.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bissecção para determinar uma raiz de
no intervalo inicial com extremidades
e
, com precisão exigida
.
Informações dadas e o que precisamos obter:
- Função:
. - Intervalo inicial:
e . - Precisão solicitada:
. - Objetivo prático: encontrar um ponto
tal que a distância máxima entre e a raiz verdadeira seja no máximo (vamos usar o critério clássico do método da bissecção baseado no tamanho do intervalo residual).
Passo 2
Explicando o método da bissecção (aulas rápidas e úteis antes de aplicar):
- A ideia: se
é contínua em e , então existe pelo menos uma raiz em . Tomamos o ponto médio
avaliamos
. Se
temos a raiz exata. Se
tem sinal oposto ao de
, a raiz está em
; caso contrário está em
. Repetimos o procedimento sobre o subintervalo que contém a raiz.
- Cota de erro útil: após
iterações o comprimento do intervalo é
O erro máximo ao tomar o ponto médio do intervalo atual como aproximação é no máximo a metade desse comprimento:
Queremos que esse erro máximo seja
. Assim, basta escolher
tal que
- Vamos calcular quantas iterações são necessárias com os valores dados:
Tomando logaritmo em base 2,
Portanto precisamos de, pelo menos,
iterações para garantir
. Vou então executar 5 iterações da bissecção, mostrando os cálculos passo a passo.
Passo 3
Verificar que há mudança de sinal em
:
Usando aproximações conhecidas para o seno:
logo
Como
, existe raiz em
. Vamos à bissecção.
Passo 4
Iteração 1:
Sinais:
e
são negativos, enquanto
é positivo. Logo a raiz está no subintervalo
.
Passo 5
Iteração 2:
Agora
e
. Portanto a raiz está em
.
Passo 6
Iteração 3:
Estimando
por interpolação entre
e
:
Logo
Assim a raiz está em
.
Passo 7
Iteração 4:
Estimando
(aproximação entre
e
):
Logo
Portanto a raiz está em
.
Passo 8
Iteração 5:
Estimando
(entre
e
):
Logo
Agora
e
. O novo intervalo que contém a raiz é
.
Passo 9
Verificação da precisão pedida:
- Comprimento do intervalo final:
- Metade desse comprimento (cota de erro ao usar o ponto médio) é
Portanto qualquer ponto dentro do intervalo final tem erro máximo
. É habitual tomar como aproximação a \emph{média} dos extremos do intervalo final, ou seja o ponto médio atual: