A tabela seguinte apresenta a população do Brasil (em milhões) de 1970 a 2010.
Ano População
1970 94.508
1980 121.150
1990 146.917
2000 169.590
2010 190.755
(a) Construa o polinômio interpolador usando a forma de Newton para estimar a população nos anos de 1984 e 2005.
(b) A população em 1940 foi 41.236. Usando o polinômio interpolador obtido no item (a), obtenha a população em 1940 e compare com o valor real.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (peguei os números do enunciado):
    Ano e população (em milhões)
    \begin{array}{lcl} 1970 &\mapsto& 94,508,\\\\ 1980 &\mapsto& 121,150,\\\\ 1990 &\mapsto& 146,917,\\\\ 2000 &\mapsto& 169,590,\\\\ 2010 &\mapsto& 190,755. \end{array}
  • O enunciado pede:
    (a) Construir o polinômio interpolador na forma de Newton e usar para estimar a população nos anos de 1984 e 2005.
    (b) Usar o mesmo polinômio para estimar a população em 1940 e comparar com o valor real 41,236.

Passo 2

Escolha da variável e motivo prático (facilita contas e evita números grandes): vou trabalhar com a variável
u=\frac{\text{ano}-1970}{10},
assim os nós ficam igualmente espaçados e simples:
u=0,1,2,3,4
correspondendo a 1970,1980,1990,2000,2010. Em cada nó uso f(u) como a população em milhões. Escrever o polinômio em u não muda a resposta final (apenas traduz o ano), e facilita a tabela de diferenças divididas.

Passo 3

Forma de Newton e diferenças divididas — mini-aula aplicada (sem pular etapas):
  • A forma de Newton para o polinômio interpolador em nós u_0,u_1,\dots,u_n é
P(u)=f[u_0]+f[u_0,u_1](u-u_0)+f[u_0,u_1,u_2](u-u_0)(u-u_1)+\cdots
onde f[u_i,\dots,u_j] são as diferenças divididas.
  • Diferença dividida de ordem 1:
f[u_i,u_{i+1}]=\frac{f(u_{i+1})-f(u_i)}{u_{i+1}-u_i}.
  • Diferença dividida de ordem 2:
f[u_i,u_{i+1},u_{i+2}]=\frac{f[u_{i+1},u_{i+2}]-f[u_i,u_{i+1}]}{u_{i+2}-u_i},
e assim por diante.
Como escolhemos nós com espaçamento 1 (ou seja, u_{k+1}-u_k=1), as fórmulas ficam ainda mais simples (denominadores são inteiros pequenos). Vou construir a tabela de diferenças divididas explicitamente e colher os coeficientes para a forma de Newton.

Passo 4

Valores iniciais (em u):
\begin{array}{lcl} u_0=0,& f_0=f(u_0)=94,508,\\[4pt] u_1=1,& f_1=f(u_1)=121,150,\\[4pt] u_2=2,& f_2=f(u_2)=146,917,\\[4pt] u_3=3,& f_3=f(u_3)=169,590,\\[4pt] u_4=4,& f_4=f(u_4)=190,755. \end{array}
Agora calculo as diferenças divididas de primeira ordem (mostrando a conta):
\begin{aligned} f[u_0,u_1]&=\frac{121,150-94,508}{1-0}=26,642,\\[2pt] f[u_1,u_2]&=\frac{146,917-121,150}{2-1}=25,767,\\[2pt] f[u_2,u_3]&=\frac{169,590-146,917}{3-2}=22,673,\\[2pt] f[u_3,u_4]&=\frac{190,755-169,590}{4-3}=21,165. \end{aligned}]

Passo 5

Diferenças divididas de segunda ordem (mostrando a conta):
\begin{aligned} f[u_0,u_1,u_2]&=\frac{25,767-26,642}{2-0}=\frac{-0,875}{2}=-0,4375,\\[4pt] f[u_1,u_2,u_3]&=\frac{22,673-25,767}{3-1}=\frac{-3,094}{2}=-1,547,\\[4pt] f[u_2,u_3,u_4]&=\frac{21,165-22,673}{4-2}=\frac{-1,508}{2}=-0,754. \end{aligned}]

Passo 6

Diferenças divididas de terceira ordem:
\begin{aligned} f[u_0,u_1,u_2,u_3]&=\frac{-1,547-(-0,4375)}{3-0}=\frac{-1,1095}{3}=-0,369833333\ldots,\\[4pt] f[u_1,u_2,u_3,u_4]&=\frac{-0,754-(-1,547)}{4-1}=\frac{0,793}{3}=0,264333333\ldots. \end{aligned}]

Passo 7

Diferença dividida de quarta ordem:
f[u_0,u_1,u_2,u_3,u_4]=\frac{0,264333333\ldots-(-0,369833333\ldots)}{4-0} =\frac{0,634166666\ldots}{4}=0,1585416667\ldots
Agora já temos todos os coeficientes para a forma de Newton.

Passo 8

Escrevo o polinômio interpolador em u (coeficientes obtidos das diferenças divididas):
\begin{aligned} P(u)={}&94,508\;+\;26,642\,(u-0)\\[4pt] &\;+\;(-0,4375)\,(u-0)(u-1)\\[4pt] &\;+\;(-0,369833333\ldots)\,(u-0)(u-1)(u-2)\\[4pt] &\;+\;0,1585416667\,(u-0)(u-1)(u-2)(u-3). \end{aligned}
Para avaliação, lembra que u=(\text{ano}-1970)/10.]

Passo 9

Avaliação em 1984. Primeiro calcule u para 1984:
u=\frac{1984-1970}{10}=1,4.
Agora avalio termo a termo (faço contas passo a passo):
  • Termo constante: 94,508.
  • Termo linear: 26,642\cdot 1,4=37,2988.
  • Termo quadrático: -0,4375\cdot 1,4\cdot(1,4-1)=-0,4375\cdot 1,4\cdot 0,4=-0,245.
  • Termo cúbico: coeficiente -0,369833333\ldots vezes 1,4\cdot 0,4\cdot(-0,6). Primeiro 1,4\cdot0,4\cdot(-0,6)=-0,336. Então o termo é -0,369833333\ldots\cdot(-0,336)\approx 0,12426.
  • Termo de quarta ordem: coeficiente 0,1585416667 vezes 1,4\cdot0,4\cdot(-0,6)\cdot(-1,6). Já calculamos os três primeiros fatores = -0,336; multiplicando por -1,6 0,5376. Logo o termo é 0,1585416667\cdot 0,5376\approx 0,085223.
Somando tudo:
P(1,4)\approx 94,508+37,2988-0,245+0,12426+0,085223\approx 131,771.
Portanto a estimativa para 1984 é aproximadamente 131,771 milhões.

Passo 10

Avaliação em 2005. Primeiro u para 2005:
u=\frac{2005-1970}{10}=3,5.
Avalio termo a termo:
  • Termo constante: 94,508.
  • Termo linear: 26,642\cdot 3,5=93,247.
  • Termo quadrático: -0,4375\cdot 3,5\cdot 2,5=-0,4375\cdot 8,75=-3,828125.
  • Termo cúbico: coeficiente -0,369833333\ldots vezes 3,5\cdot2,5\cdot1,5. Primeiro produto =13,125. Então o termo é -0,369833333\ldots\cdot 13,125\approx -4,85406.
  • Termo de quarta ordem: coeficiente 0,1585416667 vezes 3,5\cdot2,5\cdot1,5\cdot0,5. O produto dos fatores internos é 6,5625. Então o termo é 0,1585416667\cdot 6,5625\approx 1,04043.
Somando:
P(3,5)\approx 94,508+93,247-3,828125-4,85406+1,04043\approx 180,113.
Portanto a estimativa para 2005 é aproximadamente 180,113 milhões.

Passo 11

Avaliação em 1940 (extrapolação para comparar com o real): primeiro u para 1940:
u=\frac{1940-1970}{10}=-3.
Avalio termo a termo:
  • Termo constante: 94,508.
  • Termo linear: 26,642\cdot(-3)=-79,926.
  • Termo quadrático: -0,4375\cdot(-3)\cdot(-4)=-0,4375\cdot 12=-5,25.
  • Termo cúbico: coeficiente -0,369833333\ldots vezes (-3)\cdot(-4)\cdot(-5)=-60. Logo o termo é -0,369833333\ldots\cdot(-60)=+22,19 (aprox).
  • Termo de quarta ordem: coeficiente 0,1585416667 vezes (-3)\cdot(-4)\cdot(-5)\cdot(-6)=360. Logo o termo é 0,1585416667\cdot 360\approx 57,075.
Somando:
P(-3)\approx 94,508-79,926-5,25+22,19+57,075\approx 88,597.
Comparação com o valor real: o valor real dado é 41,236 milhões. Calculo o erro e a porcentagem:
  • Erro absoluto: 88,597-41,236=47,361 milhões.
  • Erro relativo: \dfrac{47,361}{41,236}\times 100\%\approx 114,9\%.
Interpretação didática rápida (para a prova): extrapolar com polinômios de grau alto (aqui grau 4) para pontos muito fora do intervalo dos dados ( 1940 está bem fora de 1970- 2010) costuma ser muito inseguro — o polinômio pode variar muito fora do intervalo e dar estimativas grosseiramente erradas. Para extrapolação histórica é melhor usar modelos apropriados (por ex. exponencial/logístico) ou restringir a uso do polinômio somente dentro do intervalo dos nós.

Resposta

População estimada em 1984: 131,771 milhões
População estimada em 2005: 180,113 milhões
População estimada em 1940 (pelo polinômio): 88,597 milhões; valor real: 41,236 milhões; erro absoluto 47,361 milhões; erro relativo \approx 114,9\%

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