A tabela seguinte apresenta a população do Brasil (em milhões) de 1970 a 2010.
Ano
População
1970
94.508
1980
121.150
1990
146.917
2000
169.590
2010
190.755
(a) Construa o polinômio interpolador usando a forma de Newton para estimar a população nos anos de 1984 e 2005.
(b) A população em 1940 foi 41.236. Usando o polinômio interpolador obtido no item (a), obtenha a população em 1940 e compare com o valor real.
| Ano | População |
| 1970 | 94.508 |
| 1980 | 121.150 |
| 1990 | 146.917 |
| 2000 | 169.590 |
| 2010 | 190.755 |
(b) A população em 1940 foi 41.236. Usando o polinômio interpolador obtido no item (a), obtenha a população em 1940 e compare com o valor real.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados (peguei os números do enunciado):
Ano e população (em milhões) -
O enunciado pede:
(a) Construir o polinômio interpolador na forma de Newton e usar para estimar a população nos anos dee .
(b) Usar o mesmo polinômio para estimar a população eme comparar com o valor real .
Passo 2
Escolha da variável e motivo prático (facilita contas e evita números grandes): vou trabalhar com a variável
assim os nós ficam igualmente espaçados e simples:
correspondendo a
. Em cada nó uso
como a população em milhões. Escrever o polinômio em
não muda a resposta final (apenas traduz o ano), e facilita a tabela de diferenças divididas.
Passo 3
Forma de Newton e diferenças divididas — mini-aula aplicada (sem pular etapas):
- A forma de Newton para o polinômio interpolador em nós
é
onde
são as diferenças divididas.
- Diferença dividida de ordem 1:
- Diferença dividida de ordem 2:
e assim por diante.
Como escolhemos nós com espaçamento (ou seja,
), as fórmulas ficam ainda mais simples (denominadores são inteiros pequenos). Vou construir a tabela de diferenças divididas explicitamente e colher os coeficientes para a forma de Newton.
Como escolhemos nós com espaçamento
Passo 4
Valores iniciais (em
):
Agora calculo as diferenças divididas de primeira ordem (mostrando a conta):
Passo 5
Diferenças divididas de segunda ordem (mostrando a conta):
Passo 6
Diferenças divididas de terceira ordem:
Passo 7
Diferença dividida de quarta ordem:
Agora já temos todos os coeficientes para a forma de Newton.
Passo 8
Escrevo o polinômio interpolador em
(coeficientes obtidos das diferenças divididas):
Para avaliação, lembra que
.]
Passo 9
Avaliação em
. Primeiro calcule
para
:
Agora avalio termo a termo (faço contas passo a passo):
- Termo constante:
- Termo linear:
- Termo quadrático:
- Termo cúbico: coeficiente
vezes . Primeiro Então o termo é - Termo de quarta ordem: coeficiente
vezes . Já calculamos os três primeiros fatores = ; multiplicando por dá . Logo o termo é
Somando tudo:
Portanto a estimativa para
é aproximadamente
milhões.
Passo 10
Avaliação em
. Primeiro
para
:
Avalio termo a termo:
- Termo constante:
- Termo linear:
- Termo quadrático:
- Termo cúbico: coeficiente
vezes . Primeiro produto . Então o termo é - Termo de quarta ordem: coeficiente
vezes . O produto dos fatores internos é . Então o termo é
Somando:
Portanto a estimativa para
é aproximadamente
milhões.
Passo 11
Avaliação em
(extrapolação para comparar com o real): primeiro
para
:
Avalio termo a termo:
- Termo constante:
- Termo linear:
- Termo quadrático:
- Termo cúbico: coeficiente
vezes . Logo o termo é (aprox). - Termo de quarta ordem: coeficiente
vezes . Logo o termo é
Somando:
Comparação com o valor real: o valor real dado é
milhões. Calculo o erro e a porcentagem:
- Erro absoluto:
milhões. - Erro relativo:
.
Interpretação didática rápida (para a prova): extrapolar com polinômios de grau alto (aqui grau
) para pontos muito fora do intervalo dos dados (
está bem fora de
-
) costuma ser muito inseguro — o polinômio pode variar muito fora do intervalo e dar estimativas grosseiramente erradas. Para extrapolação histórica é melhor usar modelos apropriados (por ex. exponencial/logístico) ou restringir a uso do polinômio somente dentro do intervalo dos nós.
Resposta
População estimada em 1984:
milhões
População estimada em 2005: milhões
População estimada em 1940 (pelo polinômio): milhões; valor real:
milhões; erro absoluto
milhões; erro relativo
População estimada em 2005:
População estimada em 1940 (pelo polinômio):