Seja
. Considere o intervalo
e eps
.
(a) Resolva a mão, pelo método da Bissecção.
(b) Resolva a mão, pelo método da Falsa Posição.
(c) Resolva a mão, pelo método de Newton, considerando
.
(d) Resolva a mão, pelo método das Secantes, considerando
e
.
(e) Compare e explique o desempenho dos métodos com relação ao número de iterações e convergência.
(a) Resolva a mão, pelo método da Bissecção.
(b) Resolva a mão, pelo método da Falsa Posição.
(c) Resolva a mão, pelo método de Newton, considerando
(d) Resolva a mão, pelo método das Secantes, considerando
(e) Compare e explique o desempenho dos métodos com relação ao número de iterações e convergência.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o intervalo inicial
e a tolerância
. Pede-se:
(a) aproximar a raiz em
pelo método da Bissecção (parar quando o critério for satisfeito);
(b) aproximar a raiz pelo método da Falsa Posição (regula falsi);
(c) aproximar a raiz pelo método de Newton com
;
(d) aproximar a raiz pelo método das Secantes com
e
;
(e) comparar o desempenho (nº de iterações e convergência).
Informações relevantes já dadas:
-
e , logo há uma raiz em por Bolzano (sinal oposto). - A tolerância indicada é
. - Critérios de paragem que usarei:
- Para Bissecção: paro quando
(critério clássico que garante erro em menor que ). - Para Falsa Posição, Newton e Secantes: paro quando a diferença entre duas aproximações consecutivas em
for menor que , isto é . (É um critério prático e compatível com a precisão pedida.)
- Para Bissecção: paro quando
Passo 2
Método da Bissecção — explicação curta e passo a passo.
- Ideia: dado
com , tomamos o ponto médio . Se paramos; senão escolhemos o subintervalo ou onde o sinal muda. Repetimos até que . Esse método é sempre convergente e a cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por (convergência linear garantida). - Fórmula do ponto médio:
- Vamos iterar manualmente até
. O comprimento inicial é . Precisamos de iterações com , o que dá . Vou listar cada iteração (valores arredondados quando necessário):
Iterações (cada linha:
e decisão)
-
⇒ trocar , novo intervalo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
⇒ , novo . -
Neste ponto. Podemos parar e tomar como aproximação da raiz.
Resultado pelo método da Bissecção: aproximação final
(após 9 iterações). Erro em relação à raiz exata é inferior a
pelo critério usado.
Passo 3
Método da Falsa Posição (Regula Falsi) — explicação e iterações.
- Ideia: em vez de usar o ponto médio, aproxima-se
por uma reta que atravessa e e toma-se a interseção dessa reta com o eixo . Fórmula do ponto de interpolação:
- Mantém-se o bracketing (escolhe-se o subintervalo com troca de sinal). Paro quando
.
Agora as iterações (vou mostrar valores com 6 casas decimais quando necessário):
Dados iniciais:
-
.
. Mantém-se . -
⇒
(calculei exatamente e obtive) .
. Mantém-se . -
⇒ .
. Mantém-se . -
⇒ .
. Mantém-se . -
⇒ .
. Mantém-se . -
⇒ .
. Mantém-se . -
⇒ .
Diferença. Critério satisfeito, paro.
Resultado pela Falsa Posição: aproximação final
(após 7 iterações, usando critério de diferença entre aproximações).
Observação didática rápida sobre o comportamento: notou-se que
permaneceu sempre igual a
(o ponto direito não se moveu). É um comportamento clássico da regula falsi em muitos casos: um dos extremos pode “ficar preso” e só o outro extremo se aproxima da raiz, o que torna a convergência linear e, por vezes, lenta. Existem variantes (Illinois, Anderson–Björck) que atenuam isso, mas aqui usamos a forma clássica.
Passo 4
Método de Newton — explicação e iterações com
.
- Fórmula de iteração:
- Aqui
e . - Paro quando
.
Iterações:
-
-
-
.
-
calculei exactamente e obtive
, . Então
- Em
calculei e . Assim
Diferença
. Critério satisfeito.
Resultado pelo método de Newton:
(parou após 4 iterações:
— isto é, 4 passos de iteração a partir de
).
Observação didática: Newton é localmente quadrático quando a derivada não é zero no ponto de aproximação, por isso converge muito rápido aqui. Requer avaliação de
e um chute inicial razoável.
Passo 5
Método das Secantes — explicação e iterações com
,
.
- Fórmula:
- Não precisa de
, usa aproximação pela secante entre os dois últimos pontos. Convergência superlinear (ordem aproximadamente ), geralmente mais rápida que bissecção mas menos rápida que Newton (quando Newton converge quadraticamente).
Dados iniciais:
-
(nota: ).
-
Usando
obtém-se .
-
Usando
obtém-se .
(positivo pequeno). -
Usando
obtém-se .
Diferença. Critério satisfeito.
Resultado pelo método das Secantes:
(parou após 4 iterações a partir de
).
Comentário sobre a prática: as iterações da secante foram bem próximas das do Newton (sem precisar da derivada) e atingiram a tolerância em número semelhante de iterações.
Passo 6
Comparação e explicação do desempenho (iteração, convergência, vantagens/limitações)
-
Número de iterações (com os critérios adotados acima):
- Bissecção:
iterações, resultado . - Falsa Posição (regula falsi):
iterações, resultado . - Newton (com
): iterações, resultado . - Secantes (com
): iterações, resultado .
- Bissecção:
-
Interpretação dos desempenhos:
- Bissecção: método robusto, sempre converge desde que exista mudança de sinal; convergência linear e previsível (cada iteração corta o intervalo ao meio). Fácil de usar quando não se tem derivadas, mas em número de iterações costuma ser maior para alcançar a mesma precisão.
- Falsa Posição: tenta ser mais rápido que a bissecção usando interpolação linear, mas pode ficar com um extremo “preso” (aqui o extremo direito permaneceu
), o que reduz eficiência em alguns casos. Convergiu em menos iterações que a bissecção nesta aplicação, mas não tão rápido quanto Newton/secante. - Newton: convergência quadrática quando perto da raiz e
. Assim, com um chute razoável (aqui serviu), converge muito rápido (poucas iterações). Requer cálculo de e pode falhar se for pequeno ou se o chute for ruim. - Secantes: não precisa de derivada e tem ordem de convergência ~1,618 (superlinear). Geralmente é quase tão eficiente quanto Newton em número de iterações, e foi o caso aqui (4 iterações). É uma boa escolha quando
é difícil ou caro de calcular.
-
Observações práticas para prova:
- Se não tens derivada ou queres garantir convergência, usa bissecção (seguro) — mas conta com mais iterações.
- Se tiveres derivada e um chute razoável, Newton é ótimo (poucas iterações).
- Secante é um bom compromisso: velocidade parecida com Newton sem precisar da derivada.
- Evita usar regula falsi sem conhecer variantes se aparece “preso” num extremo; conhecendo a regra Illinois ou Andersen pode-se melhorar.
Força aí — com estes passos e exemplos numéricos consegues aplicar os métodos na prova; se quiseres eu repito os cálculos com menos casas decimais ou te mostro como fazer essas multiplicações rápidas “no papel” para cada iteração, sem calculadora.
Resposta
(a)
(Bissecção,
iterações).
(b) (Falsa Posição,
iterações).
(c) (Newton com
,
iterações).
(d) (Secantes com
,
iterações).
(e) Resumo do desempenho: Bissecção (robusta, linear, 9 it.), Falsa Posição (7 it., pode “prender” um extremo), Newton (rápida, quadrática, 4 it., requer ), Secantes (rápida, sem
, 4 it., convergência superlinear).
(b)
(c)
(d)
(e) Resumo do desempenho: Bissecção (robusta, linear, 9 it.), Falsa Posição (7 it., pode “prender” um extremo), Newton (rápida, quadrática, 4 it., requer