Usando o método de integração por substituição trigonométrica, calcule as integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{12}{\sqrt{2 x^{2}-6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{12}{\sqrt{2x^{2}-6}}\,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar da identidade
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr| + C
e escolher a substituição adequada para reduzir a raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, fatoramos 2 dentro da raiz:
\sqrt{2x^{2}-6} = \sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}-3}.
Logo,
\int \frac{12}{\sqrt{2x^{2}-6}}\,dx = \int \frac{12}{\sqrt{2}\,\sqrt{x^{2}-3}}\,dx = \frac{12}{\sqrt{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-3}} = 6\sqrt{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-3}}.

Passo 3

Para eliminar \sqrt{x^{2}-3}, usamos a substituição trigonométrica
x = \sqrt{3}\,\operatorname{sec}\theta, \quad dx = \sqrt{3}\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta,
e note que
\sqrt{x^{2}-3} = \sqrt{3\,\operatorname{sec}^{2}\theta -3} = \sqrt{3}\,\tan\theta.

Passo 4

Substituindo na integral:
6\sqrt{2}\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-3}} = 6\sqrt{2}\int \frac{\sqrt{3}\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta}{\sqrt{3}\,\tan\theta} = 6\sqrt{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = 6\sqrt{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Retornando a variável x:
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{\sqrt{3}}, \quad \tan\theta = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta -1} = \frac{\sqrt{x^{2}-3}}{\sqrt{3}}.
Logo,
\operatorname{sec}\theta + \tan\theta = \frac{x + \sqrt{x^{2}-3}}{\sqrt{3}},
e \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|=\ln|x+\sqrt{x^{2}-3}|-\ln\sqrt{3}. O termo -6\sqrt{2}\ln\sqrt{3} absorve-se na constante de integração. Assim,
6\sqrt{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C = 6\sqrt{2}\,\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-3}\bigr| + C'.

Resposta

6\sqrt{2}\,\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-3}\bigr| + C

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