Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
u=x y z quando x+y+z=5 e x y+y z+z x=8

Passo 1

A função é u = xyz com duas restrições x+y+z=5 e xy+yz+zx=8, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para duas restrições em 3 variáveis.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana L introduzindo os multiplicadores λ e μ:
L = x y z - lambda,(x + y + z - 5) - mu,(x y + y z + z x - 8)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=yz - lambda - mu(y+z)=0
partial Lpartial y=xz - lambda - mu(x+z)=0
partial Lpartial z=xy - lambda - mu(x+y)=0
junto com as duas equações de restrição.

Passo 4

Subtraindo as primeiras equações entre si vemos, por exemplo,
l(yz - xzr)=mul(y+z - (x+z)r)implies (y-x)(z-mu)=0
Analogamente chegam-se a (z-x)(y-μ)=0 e (z-y)(x-μ)=0, o que implica que pelo menos duas variáveis são iguais.

Passo 5

Tomando o caso x=y, as restrições viram
2x+z=5e x^2+2xz=8
Da primeira z=5-2x. Substituindo na segunda:
x^2 +2x(5-2x)=8,implies,3x^2 -10x+8=0implies x=2 ou x=4/3
Logo temos os pontos (2,2,1) e (4/3,4/3,7/3).

Passo 6

Por simetria das restrições, permutamos as coordenadas desses pontos. Avaliando u=xyz temos
para (2,2,1): u=4 (mínimo)
para (4/3,4/3,7/3): u=112/27 (máximo).

Resposta

Os extremos condicionados são todos os pontos obtidos pelas permutações de (2,2,1), onde u=4 (mínimo), e de (4/3,4/3,7/3), onde u=112/27 (máximo).

Exercícios relacionados