Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
quando
e
Passo 1
A função é u = xyz com duas restrições x+y+z=5 e xy+yz+zx=8, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para duas restrições em 3 variáveis.
Passo 2
Formamos a Lagrangiana L introduzindo os multiplicadores λ e μ:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
junto com as duas equações de restrição.
Passo 4
Subtraindo as primeiras equações entre si vemos, por exemplo,
Analogamente chegam-se a (z-x)(y-μ)=0 e (z-y)(x-μ)=0, o que implica que pelo menos duas variáveis são iguais.
Passo 5
Tomando o caso x=y, as restrições viram
Da primeira z=5-2x. Substituindo na segunda:
Logo temos os pontos (2,2,1) e (4/3,4/3,7/3).
Passo 6
Por simetria das restrições, permutamos as coordenadas desses pontos. Avaliando u=xyz temos
para (2,2,1): u=4 (mínimo)
para (4/3,4/3,7/3): u=112/27 (máximo).
para (2,2,1): u=4 (mínimo)
para (4/3,4/3,7/3): u=112/27 (máximo).
Resposta
Os extremos condicionados são todos os pontos obtidos pelas permutações de (2,2,1), onde u=4 (mínimo), e de (4/3,4/3,7/3), onde u=112/27 (máximo).