Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
z=x y quando x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os extremos da função sujeito à condição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que a gente quer maximizar ou minimizar, que é L(x, y, lambda) = x cdot y + lambda (1 - x - y) , e a restrição que é . No método dos Lagrange, a gente cria uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina ambas:
Aqui, é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Agora, para encontrar os extremos, a gente precisa derivar a Lagrangiana em relação a partial Lpartial x = y - lambda = 0 (1) , partial Lpartial y = x - lambda = 0 (2) e partial Lpartial lambda = 1 - x - y = 0 (3) , e igualar a zero. Ou seja, vamos achar:

Passo 4

Vamos resolver essas equações:
Da equação (1):
y = lambda
Da equação (2):
x = lambda
Isso significa que .

Passo 5

Agora, usamos a equação da restrição (3):
1 - x - y = 0
Como 1 - x - x = 0 , substituímos:
1 - 2x = 0
2x = 1
x = 12
y = 12
E como :

Resposta

Os extremos condicionados acontecem em e , ou seja, no ponto .

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