Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, determinar os extremos condicionados das funções:
quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar os extremos da função
sujeito à condição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que a gente quer maximizar ou minimizar, que é
, e a restrição que é
. No método dos Lagrange, a gente cria uma nova função chamada de Lagrangiana, que combina ambas:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Agora, para encontrar os extremos, a gente precisa derivar a Lagrangiana em relação a
,
e
, e igualar a zero. Ou seja, vamos achar:
Passo 4
Vamos resolver essas equações:
Da equação (1):
Da equação (2):
Isso significa que
.
Passo 5
Agora, usamos a equação da restrição (3):
Como
, substituímos:
E como
:
Resposta
Os extremos condicionados acontecem em
e
, ou seja, no ponto
.