Usando o método de Newton, resolva as equações com precisão
:
Passo 1
O enunciado pede que se encontre, pelo método de Newton, a raiz da equação
usando as tolerâncias
.
Dados fornecidos importantes:
Dados fornecidos importantes:
- A função a ser resolvida é
. - A derivada necessária é
. - Critérios de parada (ambos exigidos):
e , com .
Passo 2
O método de Newton baseia-se na aproximação linear da função em torno de uma aproximacão
: usa-se a reta tangente a
em
e toma-se a intersecção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. A fórmula de iteração é
Aqui:
-
é a função cujo zero buscamos; -
é a derivada, que aparece no denominador da fórmula (atenção se for muito pequeno, o método pode falhar ou divergir).
O critério prático: a cada iteração calculare e parar quando ambos forem menores que .
Passo 3
Escolha do palpite inicial
. Procuro um intervalo onde a função troque de sinal:
- Calculo
. - Calculo
.
Comoe , existe uma raiz entre e . Escolho (próximo à raiz e com não nulo).
Passo 4
1ª iteração (a partir de
):
Aplicando Newton:
Diferença entre aproximações:
Ainda não satisfaz o critério de diferença; continuar.
Passo 5
2ª iteração (a partir de
):
Calculo e
em
(valores numéricos):
Calculo
Então
Aplicando Newton:
Diferença:
Ainda não satisfeita a segunda tolerância, embora
já esteja pequeno (ver próximo passo).
Passo 6
3ª iteração (a partir de
):
Calculo numérico:
Calculo numérico:
Então
Aplicando Newton:
Agora as duas quantidades de parada:
Ambos os critérios são satisfeitos, portanto podemos parar com
como aproximação da raiz.
Passo 7
Conclusão: o método de Newton, começando em
, convergiu em três iterações para a raiz com as tolerâncias pedidas. É importante, na prova, justificar a escolha do palpite inicial (por exemplo mostrando o troca de sinal) e verificar ambas as tolerâncias antes de declarar a convergência.