Resolva os seguintes sistemas, usando o método de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+z+w=10 \\\ x+y+3 z+2 w=6 \\\ x+y+z+w=5 \\\\ 5 x+y+z+3 w=15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear composto por quatro equações e quatro incógnitas, usando o método de Gauss. As equações fornecidas são:
\begin{cases} 2x+3y+z+w=10\\[4pt] x+y+3z+2w=6\\[4pt] x+y+z+w=5\\[4pt] 5x+y+z+3w=15 \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • Coeficientes e termos independentes estão explícitos nas quatro equações acima.
  • A incógnitas a determinar são x, y, z e w.
  • O método exigido é o método de Gauss (eliminação por operações elementares em linhas).]

Passo 2

Breve explicação do método de Gauss (para ficar tranquilo antes de começar): a ideia é transformar o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares sobre as equações (linhas) — trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, ou somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Depois que a matriz ficar triangular superior, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution). Cada operação que eu aplicar estará explícita para que você saiba exatamente o que fazer na prova.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 2 & 6\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 5 & 1 & 1 & 3 & 15 \end{array}\right]]

Passo 4

Começo a eliminação escolhendo a primeira linha como pivô. Para simplificar as contas, faço a operação:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1,
ou seja, divido a primeira linha por 2. Isso cria um pivô igual a 1 na posição (1,1). Nova primeira linha:
R_1 = \left[\,1,\\ \tfrac{3}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2}\\ \big|\\\ 5\,\right].

Passo 5

Agora elimino a incógnita x nas linhas 2, 3 e 4 usando R_1.
  • Para zerar x em R_2 (que tem coeficiente 1):
R_2 \leftarrow R_2 - R_1.
Cálculos elemento a elemento:
R_2 = \left[\,0,\\\ 1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2},\\\ 3-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2},\\\ 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}\\ \big|\\\ 6-5=1\,\right].
  • Para zerar x em R_3 (que tem coeficiente 1):
R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Cálculos:
R_3 = \left[\,0,\\\ 1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2},\\\ 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},\\\ 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\\ \big|\\\ 5-5=0\,\right].
  • Para zerar x em R_4 (que tem coeficiente 5):
R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1.
Cálculos:
R_4 = \left[\,0,\\\ 1-5\cdot\tfrac{3}{2}=1-\tfrac{15}{2}=-\tfrac{13}{2},\\\ 1-5\cdot\tfrac{1}{2}=1-\tfrac{5}{2}=-\tfrac{3}{2},\\\ 3-5\cdot\tfrac{1}{2}=3-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2}\\ \big|\\\ 15-5\cdot5=15-25=-10\,\right].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 5\\[6pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{5}{2} & \tfrac{3}{2} & 1\\[6pt] 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & -\tfrac{13}{2} & -\tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -10 \end{array}\right]]

Passo 6

Escalo a segunda linha para obter pivô 1 em posição (2,2). Faço:
R_2 \leftarrow -2\,R_2,
porque R_2 tem -\tfrac{1}{2} como coeficiente de y. Isso evita frações longas. Calculando:
R_2 = \left[\,0,\\\ 1,\\\ -5,\\\ -3\\ \big|\\\ -2\,\right].

Passo 7

Agora uso R_2 para zerar as entradas em coluna 2 das outras linhas.
  • Zerando em R_1 (coeficiente \tfrac{3}{2}):
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{2}R_2.
Cálculos:
\begin{aligned} \text{novo }z\text{ em }R_1 &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot(-5) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{15}{2} = \tfrac{16}{2}=8,\\\ \text{novo }w\text{ em }R_1 &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2}\cdot(-3) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{9}{2} = \tfrac{10}{2}=5,\\\ \text{novo RHS} &= 5 - \tfrac{3}{2}\cdot(-2) = 5 +3 =8. \end{aligned}
Logo R_1 = [\,1,\\\ 0,\\\ 8,\\\ 5\\ |\\\ 8\,].
  • Zerando em R_3 (coeficiente -\tfrac{1}{2}):
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{2}R_2.
Cálculos:
\begin{aligned} z:&\\ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot(-5) = \tfrac{1}{2}-\tfrac{5}{2} = -2,\\\ w:&\\ \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot(-3) = \tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2} = -1,\\\ \text{RHS}:&\\\ 0 + \tfrac{1}{2}\cdot(-2) = -1. \end{aligned}
Logo R_3 = [\,0,\\\ 0,\\\ -2,\\\ -1\\ |\\\ -1\,].
  • Zerando em R_4 (coeficiente -\tfrac{13}{2}):
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{13}{2}R_2.
Cálculos:
\begin{aligned} z:&\\\ -\tfrac{3}{2} + \tfrac{13}{2}\cdot(-5) = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{65}{2} = -\tfrac{68}{2} = -34,\\\ w:&\\ \tfrac{1}{2} + \tfrac{13}{2}\cdot(-3) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{39}{2} = -\tfrac{38}{2} = -19,\\\ \text{RHS}:&\\\ -10 + \tfrac{13}{2}\cdot(-2) = -10 -13 = -23. \end{aligned}
Logo R_4 = [\,0,\\\ 0,\\\ -34,\\\ -19\\ |\\\ -23\,].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 8 & 5 & 8\\[6pt] 0 & 1 & -5 & -3 & -2\\[6pt] 0 & 0 & -2 & -1 & -1\\[6pt] 0 & 0 & -34 & -19 & -23 \end{array}\right]]

Passo 8

Escalo a terceira linha para obter pivô 1 em posição (3,3). Como o coeficiente é -2, multiplico por -\tfrac{1}{2}:
R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_3.
Cálculos:
R_3 = \left[\,0,\\\ 0,\\\ 1,\\ \tfrac{1}{2}\\ \big|\\ \tfrac{1}{2}\,\right].

Passo 9

Uso R_3 para zerar a coluna 3 nas linhas 1, 2 e 4.
  • Em R_1 (coeficiente 8):
R_1 \leftarrow R_1 - 8R_3.
Cálculos:
w:\\\ 5 - 8\cdot\tfrac{1}{2} = 5 -4 =1,\qquad RHS:\\\ 8 - 8\cdot\tfrac{1}{2} = 8 -4 =4.
Logo R_1 = [\,1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1\\ |\\\ 4\,].
  • Em R_2 (coeficiente -5):
R_2 \leftarrow R_2 + 5R_3.
Cálculos:
w:\\\ -3 + 5\cdot\tfrac{1}{2} = -3 + \tfrac{5}{2} = -\tfrac{1}{2},\qquad RHS:\\\ -2 + 5\cdot\tfrac{1}{2} = -2 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{1}{2}.
Logo R_2 = [\,0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ -\tfrac{1}{2}\\ |\\ \tfrac{1}{2}\,].
  • Em R_4 (coeficiente -34):
R_4 \leftarrow R_4 + 34R_3.
Cálculos:
w:\\\ -19 + 34\cdot\tfrac{1}{2} = -19 +17 = -2,\qquad RHS:\\\ -23 + 34\cdot\tfrac{1}{2} = -23 +17 = -6.
Logo R_4 = [\,0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ -2\\ |\\\ -6\,].
A matriz ficou:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 & 4\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right]]

Passo 10

Escalo a quarta linha para ter pivô 1 em (4,4). Como o coeficiente é -2, multiplico por -\tfrac{1}{2}:
R_4 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_4 = [\,0,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 1\\ |\\\ 3\,].

Passo 11

Agora faço a eliminação acima para obter a forma reduzida (zerar as entradas na coluna 4 acima de R_4).
  • Em R_1 (coeficiente de w igual a 1):
R_1 \leftarrow R_1 - R_4.
Cálculos:
R_1 = [\,1,\\\ 0,\\\ 0,\\\ 0\\ |\\\ 4-3=1\,].
  • Em R_2 (coeficiente de w igual a -\tfrac{1}{2}):
R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{2}R_4.
Cálculos:
\text{RHS}: \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 2.
Logo R_2 = [\,0,\\\ 1,\\\ 0,\\\ 0\\ |\\\ 2\,].
  • Em R_3 (coeficiente de w igual a \tfrac{1}{2}):
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_4.
Cálculos:
\text{RHS}:\\ \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{3}{2} = -1.
Logo R_3 = [\,0,\\\ 0,\\\ 1,\\\ 0\\ |\\\ -1\,].
Agora a matriz é a matriz identidade aumentada pelos termos independentes:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 12

Leio as soluções diretamente da matriz final (ou fazendo substituição regressiva, que aqui já foi feita):
x=1,\qquad y=2,\qquad z=-1,\qquad w=3.
Para ter segurança rápida: posso verificar substituindo esses valores numa das equações originais, por exemplo na terceira: x+y+z+w = 1+2-1+3 = 5, que confere com o termo independente 5. As outras equações também conferem (verificação deixada como exercício rápido).

Resposta

x=1
y=2
z=-1
w=3

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