Resolva o sistema usando o método da Pivotação Completa.
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y-2 z=10 \\ 3 x+2 y+2 z=1 \\ 5 x+4 y+3 z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\): \[\begin{cases} 2x+y-2z=10,\\[4pt] 3x+2y+2z=1,\\[4pt] 5x+4y+3z=4. \end{cases}
O objetivo é encontrar os valores de (x,y,z]. Para isso vamos montar a matriz aumentada das equações (coeficientes e termos independentes) e aplicar o método pedido (pivotação completa). A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -2 & 10\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 5 & 4 & 3 & 4 \end{array}\right].]

Passo 2

Breve explicação sobre pivotação completa (passo a passo prático):
  • Em cada etapa k (começando por k=1) escolhe-se como pivô o elemento de maior valor absoluto dentro da submatriz formada pelas linhas e colunas restantes (linhas e colunas \ge k).
  • Quando o pivô escolhido não está na posição (k,k), faz-se a troca de linhas necessária para trazê‑lo à linha k e também troca de colunas para trazê‑lo à coluna k. A troca de colunas corresponde a permutar incógnitas — é preciso anotar essa permutação para reconstruir a solução com as incógnitas na ordem original.
  • Depois de posicionado o pivô em (k,k) realiza‑se a eliminação nas linhas abaixo: para cada linha i>k aplica‑se L_i \leftarrow L_i - m_{ik}L_k, onde o multiplicador é
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
com a_{ik} elemento atual da linha i, coluna k e a_{kk} o pivô.
  • Repetir para k=1,2,\dots até triangularizar; então faz‑se substituição regressiva e, por fim, desfazem‑se as permutações de colunas para obter x,y,z na ordem original.

Passo 3

Primeira etapa k=1. Procuramos o maior valor absoluto na submatriz inteira (toda a matriz de coeficientes). Os valores absolutos são 2,1,2,3,2,2,5,4,3; o maior é 5, que está em posição (3,1) (terceira linha, primeira coluna). Trazer esse elemento para (1,1) requer trocar a linha 1 com a linha 3. Não há troca de colunas (o pivô já está na coluna 1), portanto a ordem das incógnitas continua (x,y,z).
Após trocar L_1\leftrightarrow L_3 a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 3 & 4\\[4pt] 3 & 2 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -2 & 10 \end{array}\right].
O pivô é a_{11}=5.]

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (para zerar abaixo do pivô):
  • Para a linha 2: m_{21}=\dfrac{3}{5}. Aplicar L_2 \leftarrow L_2 - \dfrac{3}{5}L_1.
    Cálculos por componentes: \begin{aligned} a'_{21}&=3-\dfrac{3}{5}\cdot5=0,\\[4pt] a'_{22}&=2-\dfrac{3}{5}\cdot4=2-\dfrac{12}{5}=-\dfrac{2}{5},\\[4pt] a'_{23}&=2-\dfrac{3}{5}\cdot3=2-\dfrac{9}{5}=\dfrac{1}{5},\\[4pt] b'_2&=1-\dfrac{3}{5}\cdot4=1-\dfrac{12}{5}=-\dfrac{7}{5}. \end{aligned}
  • Para a linha 3: m_{31}=\dfrac{2}{5}. Aplicar L_3 \leftarrow L_3 - \dfrac{2}{5}L_1. \begin{aligned} a'_{31}&=2-\dfrac{2}{5}\cdot5=0,\\[4pt] a'_{32}&=1-\dfrac{2}{5}\cdot4=1-\dfrac{8}{5}=-\dfrac{3}{5},\\[4pt] a'_{33}&=-2-\dfrac{2}{5}\cdot3=-2-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{16}{5},\\[4pt] b'_3&=10-\dfrac{2}{5}\cdot4=10-\dfrac{8}{5}=\dfrac{42}{5}. \end{aligned}
A matriz aumentada após essas eliminações é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 4 & 3 & 4\\[4pt] 0 & -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{7}{5}\\[6pt] 0 & -\dfrac{3}{5} & -\dfrac{16}{5} & \dfrac{42}{5} \end{array}\right].]

Passo 5

Segunda etapa k=2. Agora consideramos a submatriz formada pelas entradas das linhas e colunas 2 e 3:
\left[\begin{array}{cc} -\dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5}\\[4pt] -\dfrac{3}{5} & -\dfrac{16}{5} \end{array}\right].
Procuramos o elemento de maior valor absoluto nesta submatriz: os módulos são \tfrac{2}{5},\tfrac{1}{5},\tfrac{3}{5},\tfrac{16}{5}; o maior é \tfrac{16}{5}, que está na posição original (3,3) (terceira linha, terceira coluna). Para trazer esse pivô à posição (2,2) é preciso:
  • trocar linha 2 com a linha 3 (para trazer o pivô à linha 2);
  • trocar coluna 2 com a coluna 3 (para trazer o pivô à coluna 2).
A troca de colunas implica permutar as incógnitas: originalmente as colunas eram (x,y,z); ao trocar colunas 2\leftrightarrow3 a nova ordem de incógnitas passa a ser (x,z,y). É importante anotar essa permutação para reorganizar a solução no final.
Após trocar L_2\leftrightarrow L_3 e colunas 2\leftrightarrow3 a matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & 4 & 4\\[4pt] 0 & -\dfrac{16}{5} & -\dfrac{3}{5} & \dfrac{42}{5}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{5} & -\dfrac{2}{5} & -\dfrac{7}{5} \end{array}\right],
onde a ordem de colunas (incógnitas) é agora (x,z,y). O pivô em (2,2) é a_{22}=-\dfrac{16}{5}.]

Passo 6

Eliminação na coluna 2 (abaixo do pivô a_{22}):
  • Calcular o multiplicador para zerar o elemento em posição (3,2):
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{-\tfrac{16}{5}}=-\dfrac{1}{16}.
  • Aplicar L_3\leftarrow L_3 - m_{32} L_2. Como m_{32}=-\tfrac{1}{16}, isso é L_3 \leftarrow L_3 + \tfrac{1}{16}L_2.
    Cálculos: \begin{aligned} a''_{33}&=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{16}\Big(-\dfrac{3}{5}\Big)=-\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{80}=-\dfrac{35}{80}=-\dfrac{7}{16},\\[6pt] b''_3&=-\dfrac{7}{5}+\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{42}{5}=-\dfrac{7}{5}+\dfrac{42}{80}=-\dfrac{112}{80}+\dfrac{42}{80}=-\dfrac{70}{80}=-\dfrac{7}{8}. \end{aligned}
A matriz triangular (superior) obtida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 5 & 3 & 4 & 4\\[4pt] 0 & -\dfrac{16}{5} & -\dfrac{3}{5} & \dfrac{42}{5}\\[6pt] 0 & 0 & -\dfrac{7}{16} & -\dfrac{7}{8} \end{array}\right],
com a ordem de incógnitas igual a (x,z,y).]

Passo 7

Substituição regressiva (resolver a partir da última equação para cima), lembrando que a ordem das incógnitas no sistema triangular é (x,z,y). Denotemos temporariamente u_1=x,\;u_2=z,\;u_3=y.
  • A terceira equação (linha 3) dá
-\dfrac{7}{16}\,u_3=-\dfrac{7}{8}.
Resolver para u_3:
u_3=\frac{-\tfrac{7}{8}}{-\tfrac{7}{16}}=\frac{-7/8}{-7/16}=\frac{-7}{8}\cdot\frac{16}{-7}=2.
Logo u_3=2, isto é y=2.
  • A segunda equação (linha 2) é
-\dfrac{16}{5}\,u_2-\dfrac{3}{5}\,u_3=\dfrac{42}{5}.
Multiplicando por 5 para simplificar:
-16\,u_2-3\,u_3=42.
Substituindo u_3=2:
-16\,u_2-6=42\quad\Rightarrow\quad -16\,u_2=48\quad\Rightarrow\quad u_2=-3.
Logo u_2=-3, isto é z=-3.
  • A primeira equação (linha 1) é
5\,u_1+3\,u_2+4\,u_3=4.
Substituindo u_2=-3 e u_3=2:
5\,u_1+3(-3)+4(2)=4\quad\Rightarrow\quad 5\,u_1-9+8=4\quad\Rightarrow\quad 5\,u_1-1=4,
portanto 5\,u_1=5 e u_1=1. Assim x=1.
Agora desfazemos a permutação de colunas que havíamos registrado: lembrando que, depois da troca de colunas, a ordem era (x,z,y); encontrámos u_1=x=1,\\ u_2=z=-3,\\ u_3=y=2. Em ordem original (x,y,z) temos x=1,\\ y=2,\\ z=-3.

Passo 8

Verificação rápida (substituir na equação original):
\begin{aligned} 2x+y-2z&=2(1)+2-2(-3)=2+2+6=10,\\[4pt] 3x+2y+2z&=3(1)+2(2)+2(-3)=3+4-6=1,\\[4pt] 5x+4y+3z&=5(1)+4(2)+3(-3)=5+8-9=4, \end{aligned}
todas as igualdades são verdadeiras, então a solução está correta.]

Resposta

x=1
y=2
z=-3

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