Considere o sistema de números de ponto flutuante F=F(2,8,-62,63) e a função de arredondamento a: G F(2,8,-62,63) por “falta”.
(a) Qual é o menor número positivo e o maior número positivo de F ?
(b) Qual é o menor número de F maior que 100 ?
© Qual o maior número de F menor que 20?
(d) Calcule a representação dos seguintes números em ponto flutuante, i.e., a(x), quando x assume os seguintes valores:
a) 265
b) 12,5
c) -445,25
d) -0,1
e) -12,8 f) 2500,05
(e) Quais são os erros absoluto e relativo ao se representar os seguintes números em F :
a) 25,5
b) 120,25
c) 2,5
d) 460,25
e) 24,005

Passo 1

Beleza, aqui o que a questão pede em resumo: a gente tem um sistema de ponto flutuante em base 2 com mantissa de 8 bits (1 bit “implícito” + 7 bits de fração) e expoentes de −62 até +63. O arredondamento é por “falta” (truncar o que não cabe).
O conteúdo é: representação normalizada em ponto flutuante, limites do sistema, unidade de último lugar (ULP) e cálculo de erros absolutos/relativos. Vamos precisar:
  • Entender mantissa de 8 bits (1.xxxxxxx₂)
  • Saber o menor e maior expoente
  • Saber como normalizar e truncar binários
  • Calcular valor numérico e erros

Passo 2

(a) Menor e maior positivos de
– Menor normalizado: .
– Maior normalizado: .

Passo 3

(b) Menor número de maior que 100
100 em base 2 é . Com 7 bits de fração dá exatamente . O próximo ULP vale .
Logo, o menor >100 é .

Passo 4

© Maior número de 1.00111112times2^4 menor que 20
20 em binário normalizado é . O anterior na mantissa é
\[
1.0011111_2\times2^4
]
e .
Multiplicando: .

Passo 5

(d) Truncar cada para :
a) 265 → binário . Mantissa pega 7 bits: .
.
b) 12.5 → , cabe exato em 7 bits → .
c) –445.25 → . Trunca para .
.
d) –0.1 → periódico . Mantissa .
.
e) –12.8 → . Mantissa .
.
f) 2500.05 → binário ~ .
Trunca para . .
.

Passo 6

(e) Erros para cada :
a) 25.5 é exato em 7 frações → . Erro abs=0, rel=0.
b) 120.25 → trunca para .
Erro abs= , rel= .
c) 2.5 exato → erro abs=0, rel=0.
d) 460.25 → trunca para 460. Erro abs=0.25, rel= .
e) 24.005 → não exato, aproxima trunca da mantissa de
pra .
Erro abs= , rel= .

Resposta

(a) Menor positivo , maior .
(b) .
© .
(d)
a) 264
b) 12.5
c) –442
d) –
e) –12.75
f) 2496
(e)
a) abs=0, rel=0
b) abs=0.25, rel≈0.00208
c) abs=0, rel=0
d) abs=0.25, rel≈0.000543
e) abs=0.005, rel≈0.000208

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