Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método da Secante para aproximar a raiz da função
a partir dos pontos iniciais
e
, realizando duas iterações. Além disso pede que eu informe o erro da aproximação segundo a métrica
— ou seja, devo calcular o valor de
após a segunda iteração (não foi fornecido um
numérico, então vou apresentar o valor do erro para que possa ser comparado a qualquer
desejado).
Informações dadas:
-
. - Pontos iniciais:
e . - Deve-se executar duas iterações do método da Secante e depois informar o erro
(vou tomar como a aproximação obtida na segunda iteração, isto é , e então calcular ).
Passo 2
Pequena aula sobre o método da Secante (fácil e prático): o método da Secante gera uma nova aproximação
a partir de duas aproximações anteriores
e
usando a fórmula da reta secante que passa por
e
. A fórmula é
Explicando cada termo:
-
e são as duas aproximações conhecidas (valores numéricos). -
e são os valores da função nesses pontos. - O quociente
vem da inclinação da reta secante; multiplicando por e subtraindo de dá-se o ponto onde essa reta corta o eixo , que é a nova aproximação .
Vou aplicar essa fórmula duas vezes: primeiro para obter
(usando
e
), e depois para obter
(usando
e
). Finalmente calculo o erro
.
Passo 3
Calcular
e
.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da Secante com
e
:
Substituindo os valores:
Fazendo a subtração:
Passo 5
Calcular
. Como
, é possível calcular exatamente:
Fazendo as contas (frações com denominador
):
Passo 6
Calcular
usando
e
:
Já temos
,
,
e
. Substituindo e simplificando (mostrando a expressão racional que dá o mesmo resultado):
Logo o termo subtraído é
Portanto
Passo 7
Calcular o erro segundo a métrica pedida:
. Vou tomar
(aproximação após duas iterações) e
. Então
Observação importante: não foi fornecido um valor numérico de
; assim, não posso dizer se
se não for dado
. O valor numérico do erro está acima e pode ser comparado com qualquer
desejado.
Resposta
Aproximação após duas iterações:
Erro segundo a métrica :
Erro segundo a métrica