Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x^{3}-2 x^{2}-5 . p_{0}=3, p_{1}=4

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método da Secante para aproximar a raiz da função f(x)=x^{3}-2x^{2}-5 a partir dos pontos iniciais p_{0}=3 e p_{1}=4, realizando duas iterações. Além disso pede que eu informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon — ou seja, devo calcular o valor de \left|x_{i}-x_{i-1}\right| após a segunda iteração (não foi fornecido um \epsilon numérico, então vou apresentar o valor do erro para que possa ser comparado a qualquer \epsilon desejado).
Informações dadas:
  • f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
  • Pontos iniciais: p_{0}=3 e p_{1}=4.
  • Deve-se executar duas iterações do método da Secante e depois informar o erro \left|x_{i}-x_{i-1}\right| (vou tomar x_{i} como a aproximação obtida na segunda iteração, isto é p_{3}, e então calcular \left|p_{3}-p_{2}\right|).

Passo 2

Pequena aula sobre o método da Secante (fácil e prático): o método da Secante gera uma nova aproximação p_{n+1} a partir de duas aproximações anteriores p_{n-1} e p_{n} usando a fórmula da reta secante que passa por (p_{n-1},f(p_{n-1})) e (p_{n},f(p_{n})). A fórmula é
p_{n+1}=p_{n}-f(p_{n})\cdot\frac{p_{n}-p_{n-1}}{f(p_{n})-f(p_{n-1})}.
Explicando cada termo:
  • p_{n-1} e p_{n} são as duas aproximações conhecidas (valores numéricos).
  • f(p_{n-1}) e f(p_{n}) são os valores da função nesses pontos.
  • O quociente \dfrac{p_{n}-p_{n-1}}{f(p_{n})-f(p_{n-1})} vem da inclinação da reta secante; multiplicando por f(p_{n}) e subtraindo de p_{n} dá-se o ponto onde essa reta corta o eixo x, que é a nova aproximação p_{n+1}.
Vou aplicar essa fórmula duas vezes: primeiro para obter p_{2} (usando p_{0} e p_{1}), e depois para obter p_{3} (usando p_{1} e p_{2}). Finalmente calculo o erro \left|p_{3}-p_{2}\right|.

Passo 3

Calcular f(p_{0}) e f(p_{1}).
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5.
f(p_{0})=f(3)=3^{3}-2\cdot3^{2}-5=27-18-5=4.
f(p_{1})=f(4)=4^{3}-2\cdot4^{2}-5=64-32-5=27.

Passo 4

Calcular p_{2} usando a fórmula da Secante com p_{0} e p_{1}:
p_{2}=p_{1}-f(p_{1})\cdot\frac{p_{1}-p_{0}}{f(p_{1})-f(p_{0})}.
Substituindo os valores:
p_{2}=4-27\cdot\frac{4-3}{27-4}=4-27\cdot\frac{1}{23}=4-\frac{27}{23}.
Fazendo a subtração:
p_{2}=\frac{92}{23}-\frac{27}{23}=\frac{65}{23}\approx 2,8260869565.

Passo 5

Calcular f(p_{2}). Como p_{2}=\dfrac{65}{23}, é possível calcular exatamente:
f(p_{2})=\left(\frac{65}{23}\right)^{3}-2\left(\frac{65}{23}\right)^{2}-5.
Fazendo as contas (frações com denominador 23^{3}=12167):
f(p_{2})=\frac{274625}{12167}-\frac{194350}{12167}-\frac{60835}{12167}=\frac{19440}{12167}\approx 1,5977409.

Passo 6

Calcular p_{3} usando p_{1} e p_{2}:
p_{3}=p_{2}-f(p_{2})\cdot\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}.
Já temos p_{2}=\dfrac{65}{23}, p_{1}=4, f(p_{2})=\dfrac{19440}{12167} e f(p_{1})=27. Substituindo e simplificando (mostrando a expressão racional que dá o mesmo resultado):
p_{2}-p_{1}=\frac{65}{23}-4=-\frac{27}{23},
f(p_{2})-f(p_{1})=\frac{19440}{12167}-27=-\frac{309069}{12167}.
Logo o termo subtraído é
T=f(p_{2})\cdot\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})} =\frac{19440}{12167}\cdot\frac{-\tfrac{27}{23}}{-\tfrac{309069}{12167}} =\frac{19440\cdot 27}{23\cdot 309069}=\frac{524880}{7108587}\approx 0,0738630871.
Portanto
p_{3}=p_{2}-T=\frac{65}{23}-\frac{524880}{7108587}\approx 2,8260869565-0,0738630871\approx 2,7522238694.

Passo 7

Calcular o erro segundo a métrica pedida: \left|x_{i}-x_{i-1}\right|. Vou tomar x_{i}=p_{3} (aproximação após duas iterações) e x_{i-1}=p_{2}. Então
\left|p_{3}-p_{2}\right|=0,0738630871\quad(\text{aproximadamente}).
Observação importante: não foi fornecido um valor numérico de \epsilon; assim, não posso dizer se \left|p_{3}-p_{2}\right|<\epsilon se não for dado \epsilon. O valor numérico do erro está acima e pode ser comparado com qualquer \epsilon desejado.

Resposta

Aproximação após duas iterações: p_{3}\approx 2,7522238694
Erro segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|: \left|p_{3}-p_{2}\right|\approx 0,0738630871

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