Usando método de Newton, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize o ponto inicial indicado e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1 . p_{0}=-3
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Usar o método de Newton (iterações de Newton) para aproximar uma raiz da função f(x)=x^{3}+3x^{2}-1, partindo do ponto inicial p_{0}=-3, e realizar duas iterações (calcular p_{1} e p_{2}).
Informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Como não foi fornecido um \epsilon numérico, vou calcular os valores de \left|p_{1}-p_{0}\right| e \left|p_{2}-p_{1}\right|; estes são os critérios que se comparam com \epsilon para decidir quando parar.
Dados fornecidos:
f(x)=x^{3}+3x^{2}-1
p_{0}=-3
número de iterações desejado: duas iterações (obter p_{1} e p_{2})
Passo 2
Vou explicar o método de Newton de forma prática e simples.
Regra (fórmula) do método de Newton:
p_{n+1}=p_{n}-\frac{f(p_{n})}{f'(p_{n})}.
O que isso significa: em cada iteração toma-se a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p_{n},f(p_{n})) e calcula-se onde essa reta corta o eixo x; essa interseção é p_{n+1}. Repete-se até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que o \epsilon desejado.
Antes de aplicar, preciso da derivada f'(x). Vou calcular e explicitar.
Passo 3
Calcular a derivada de f.
Temos
f(x)=x^{3}+3x^{2}-1.
Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}+6x.
(Explicando: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de 3x^{2} é 6x; a derivada de -1 é 0.)
Passo 4
Primeira iteração: calcular p_{1} a partir de p_{0}=-3.
O erro diminuiu de \approx 0{,}11111 para \approx 0{,}00944 na segunda iteração: é um comportamento típico do método de Newton quando a iteração converge (convergência rápida quando se aproxima da raiz).
Para decidir se paramos, comparamos \left|p_{2}-p_{1}\right| com o \epsilon desejado. Por exemplo, se \epsilon=10^{-2} então já poderíamos parar porque 0{,}00944<0{,}01. Se \epsilon=10^{-3} ainda não seria suficiente.