Usando método de Newton, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize o ponto inicial indicado e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1 . p_{0}=-3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Usar o método de Newton (iterações de Newton) para aproximar uma raiz da função f(x)=x^{3}+3x^{2}-1, partindo do ponto inicial p_{0}=-3, e realizar duas iterações (calcular p_{1} e p_{2}).
  • Informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Como não foi fornecido um \epsilon numérico, vou calcular os valores de \left|p_{1}-p_{0}\right| e \left|p_{2}-p_{1}\right|; estes são os critérios que se comparam com \epsilon para decidir quando parar.
Dados fornecidos:
  • f(x)=x^{3}+3x^{2}-1
  • p_{0}=-3
  • número de iterações desejado: duas iterações (obter p_{1} e p_{2})

Passo 2

Vou explicar o método de Newton de forma prática e simples.
Regra (fórmula) do método de Newton:
p_{n+1}=p_{n}-\frac{f(p_{n})}{f'(p_{n})}.
O que isso significa: em cada iteração toma-se a reta tangente ao gráfico de f no ponto (p_{n},f(p_{n})) e calcula-se onde essa reta corta o eixo x; essa interseção é p_{n+1}. Repete-se até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que o \epsilon desejado.
Antes de aplicar, preciso da derivada f'(x). Vou calcular e explicitar.

Passo 3

Calcular a derivada de f.
Temos
f(x)=x^{3}+3x^{2}-1.
Derivando termo a termo:
f'(x)=3x^{2}+6x.
(Explicando: a derivada de x^{3} é 3x^{2}; a derivada de 3x^{2} é 6x; a derivada de -1 é 0.)

Passo 4

Primeira iteração: calcular p_{1} a partir de p_{0}=-3.
Preciso de f(p_{0}) e f'(p_{0}).
Calcular f(-3):
f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1.
Calcular f'(-3):
f'(-3)=3(-3)^{2}+6(-3)=27-18=9.
Aplicando a fórmula de Newton:
p_{1}=p_{0}-\frac{f(p_{0})}{f'(p_{0})}=-3-\frac{-1}{9}=-3+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}.
Em decimal:
p_{1}=-\frac{26}{9}\approx -2{,}8888888889.

Passo 5

Calcular o erro entre p_{1} e p_{0} segundo a métrica pedida:
\left|p_{1}-p_{0}\right|=\left|-\frac{26}{9}-(-3)\right|=\left|-\frac{26}{9}+\frac{27}{9}\right|=\frac{1}{9}\approx 0{,}1111111111.
Esse é o valor que, comparado com \epsilon, diria se já podemos parar após a primeira iteração.

Passo 6

Segunda iteração: calcular p_{2} a partir de p_{1}=-\dfrac{26}{9}.
Primeiro calcular f(p_{1}) exatamente (usando frações) para ficar claro o procedimento.
Calcule p_{1}^{2} e p_{1}^{3}:
p_{1}=-\frac{26}{9},\qquad p_{1}^{2}=\frac{676}{81},\qquad p_{1}^{3}=-\frac{17576}{729}.
Agora
f(p_{1})=p_{1}^{3}+3p_{1}^{2}-1 =-\frac{17576}{729}+3\cdot\frac{676}{81}-1.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 729:
3\cdot\frac{676}{81}=\frac{2028}{81}=\frac{18252}{729}, \qquad -1=-\frac{729}{729}.
Somando:
f(p_{1})=\frac{-17576+18252-729}{729}=\frac{-53}{729}.
Agora calcule f'(p_{1}). Uso a forma f'(x)=3x(x+2) (é equivalente a 3x^{2}+6x, e às vezes facilita os cálculos):
f'(p_{1})=3\cdot\left(-\frac{26}{9}\right)\left(-\frac{26}{9}+2\right) =3\cdot\left(-\frac{26}{9}\right)\left(-\frac{8}{9}\right) =3\cdot\frac{208}{81}=\frac{624}{81}=\frac{208}{27}.
Agora aplicar Newton:
p_{2}=p_{1}-\frac{f(p_{1})}{f'(p_{1})} =-\frac{26}{9}-\frac{-\tfrac{53}{729}}{\tfrac{208}{27}} =-\frac{26}{9}+\frac{53}{729}\cdot\frac{27}{208}.
Simplificando \dfrac{27}{729}=\dfrac{1}{27}:
p_{2}=-\frac{26}{9}+\frac{53}{27\cdot208}=-\frac{26}{9}+\frac{53}{5616}.
Colocando em único denominador 5616 (pois 5616=9\cdot624):
-\frac{26}{9}=-\frac{26\cdot624}{5616}=-\frac{16224}{5616},
logo
p_{2}=-\frac{16224-53}{5616}=-\frac{16171}{5616}.
Em decimal:
p_{2}\approx -2{,}8794515676.

Passo 7

Calcular o erro entre p_{2} e p_{1}:
\left|p_{2}-p_{1}\right| =\left|-\frac{16171}{5616}-\left(-\frac{26}{9}\right)\right| =\left| \frac{53}{5616} \right| =\frac{53}{5616}\approx 0{,}0094373210.
Observações úteis e motivação rápida:
  • O erro diminuiu de \approx 0{,}11111 para \approx 0{,}00944 na segunda iteração: é um comportamento típico do método de Newton quando a iteração converge (convergência rápida quando se aproxima da raiz).
  • Para decidir se paramos, comparamos \left|p_{2}-p_{1}\right| com o \epsilon desejado. Por exemplo, se \epsilon=10^{-2} então já poderíamos parar porque 0{,}00944<0{,}01. Se \epsilon=10^{-3} ainda não seria suficiente.

Resposta

p_{2}=-\dfrac{16171}{5616}\approx -2{,}8794515676
\left|p_{1}-p_{0}\right|=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}1111111111
\left|p_{2}-p_{1}\right|=\dfrac{53}{5616}\approx 0{,}0094373210

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