Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Usar o método da Secante para obter a aproximação da raiz após duas iterações, com os pontos iniciais
e . - Informar o erro da aproximação segundo a métrica
. (Como não foi dado um valor para , vou calcular os valores de e ; assim você tem o erro real a ser comparado com qualquer que te derem.)
Dados fornecidos:
- Função:
. - Pontos iniciais:
, . - Iterações a fazer: 2 iterações do método da Secante (isto é, calcular
e depois ; a aproximação após duas iterações será ).
Passo 2
Explicando o método da Secante de forma didática:
- A ideia é aproximar a curva
por uma reta que passa pelos pontos e . A interseção dessa reta com o eixo é a próxima aproximação . - A fórmula da Secante é
Nessa fórmula:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação (a abscissa da interseção da secante com o eixo ). - Vamos aplicar essa fórmula passo a passo com os números dados. Sempre escrevo as contas para você poder reproduzir sem calculadora (quando possível) e entender cada operação.
Passo 3
Calcular
e
.
Então
e
.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da Secante com
(usando
e
).
Substituindo os valores:
Calcule a fração:
e
.
Logo
Observação: aqui deu um número exato com duas casas decimais:
.
Passo 5
Calcular
para usar na próxima iteração.
Calcule passo a passo:
Então
Portanto
.
Passo 6
Calcular
(segunda iteração) usando
e
na fórmula da Secante:
Substituindo os valores já calculados:
Agora o numerador da fração é
.
Portanto
Fazendo a divisão (aproximação decimal):
Logo
(Mais precisamente, levando mais casas,
, mas arredondei para
para ficar legível.)
Passo 7
Calcular os erros segundo a métrica pedida
.
- Primeiro erro (diferença entre
e ):
- Segundo erro (diferença entre
e ):
Comentário importante: como o enunciado não deu um valor para
, não posso afirmar se o critério
foi satisfeito; eu forneci os valores numéricos das diferenças para que você compare com o
que tiver (por exemplo, se
então a segunda diferença
, logo não satisfeita; se
estaria satisfeita).
Resposta
Aproximação após duas iterações:
Erros: