Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x^{3}+3 x^{2}-1 . p_{0}=-3, p_{1}=-2,5

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Usar o método da Secante para obter a aproximação da raiz após duas iterações, com os pontos iniciais p_{0}=-3 e p_{1}=-2{,}5.
  • Informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. (Como não foi dado um valor para \epsilon, vou calcular os valores de \left|p_{2}-p_{1}\right| e \left|p_{3}-p_{2}\right|; assim você tem o erro real a ser comparado com qualquer \epsilon que te derem.)
Dados fornecidos:
  • Função: f(x)=x^{3}+3x^{2}-1.
  • Pontos iniciais: p_{0}=-3, p_{1}=-2{,}5.
  • Iterações a fazer: 2 iterações do método da Secante (isto é, calcular p_{2} e depois p_{3}; a aproximação após duas iterações será p_{3}).

Passo 2

Explicando o método da Secante de forma didática:
  • A ideia é aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa pelos pontos (p_{i-1},f(p_{i-1})) e (p_{i},f(p_{i})). A interseção dessa reta com o eixo x é a próxima aproximação p_{i+1}.
  • A fórmula da Secante é
p_{i+1}=p_{i}-f(p_{i})\cdot\frac{p_{i}-p_{i-1}}{f(p_{i})-f(p_{i-1})}.
Nessa fórmula:
  • p_{i-1} e p_{i} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(p_{i-1}) e f(p_{i}) são os valores da função nesses pontos;
  • p_{i+1} é a nova aproximação (a abscissa da interseção da secante com o eixo x).
  • Vamos aplicar essa fórmula passo a passo com os números dados. Sempre escrevo as contas para você poder reproduzir sem calculadora (quando possível) e entender cada operação.

Passo 3

Calcular f(p_{0}) e f(p_{1}).
f(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-1=-27+27-1=-1.
f(-2{,}5)=(-2{,}5)^{3}+3(-2{,}5)^{2}-1=-15{,}625+3\cdot6{,}25-1=-15{,}625+18{,}75-1=2{,}125.
Então f(p_{0})=-1 e f(p_{1})=2{,}125.

Passo 4

Calcular p_{2} usando a fórmula da Secante com i=1 (usando p_{0} e p_{1}).
p_{2}=p_{1}-f(p_{1})\cdot\frac{p_{1}-p_{0}}{f(p_{1})-f(p_{0})}.
Substituindo os valores:
p_{1}-p_{0}=-2{,}5-(-3)=0{,}5, \qquad f(p_{1})-f(p_{0})=2{,}125-(-1)=3{,}125.
p_{2}=-2{,}5-2{,}125\cdot\frac{0{,}5}{3{,}125}=-2{,}5-\frac{2{,}125\cdot0{,}5}{3{,}125}.
Calcule a fração: 2{,}125\cdot0{,}5=1{,}0625 e \dfrac{1{,}0625}{3{,}125}=\dfrac{34}{100}=0{,}34.
Logo
p_{2}=-2{,}5-0{,}34=-2{,}84.
Observação: aqui deu um número exato com duas casas decimais: p_{2}=-2{,}84.

Passo 5

Calcular f(p_{2}) para usar na próxima iteração.
f(-2{,}84)=(-2{,}84)^{3}+3(-2{,}84)^{2}-1.
Calcule passo a passo:
(-2{,}84)^{2}=2{,}84^{2}=8{,}0656,
(-2{,}84)^{3}=-2{,}84\cdot8{,}0656=-22{,}906304,
3\cdot(-2{,}84)^{2}=3\cdot8{,}0656=24{,}1968.
Então
f(-2{,}84)=-22{,}906304+24{,}1968-1=0{,}290496.
Portanto f(p_{2})\approx0{,}290496.

Passo 6

Calcular p_{3} (segunda iteração) usando p_{1} e p_{2} na fórmula da Secante:
p_{3}=p_{2}-f(p_{2})\cdot\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}.
Substituindo os valores já calculados:
p_{2}-p_{1}=-2{,}84-(-2{,}5)=-0{,}34,
f(p_{2})-f(p_{1})=0{,}290496-2{,}125=-1{,}834504.
Agora o numerador da fração é f(p_{2})\cdot(p_{2}-p_{1})=0{,}290496\cdot(-0{,}34)=-0{,}09876864.
Portanto
p_{3}=-2{,}84-\frac{-0{,}09876864}{-1{,}834504}=-2{,}84-\frac{0{,}09876864}{1{,}834504}.
Fazendo a divisão (aproximação decimal):
\frac{0{,}09876864}{1{,}834504}\approx0{,}05384\ldots
Logo
p_{3}\approx-2{,}84-0{,}05384\approx-2{,}89384.
(Mais precisamente, levando mais casas, p_{3}\approx-2{,}8938376, mas arredondei para p_{3}\approx-2{,}89384 para ficar legível.)

Passo 7

Calcular os erros segundo a métrica pedida \left|x_{i}-x_{i-1}\right|.
  • Primeiro erro (diferença entre p_{2} e p_{1}):
\left|p_{2}-p_{1}\right|=\left|-2{,}84-(-2{,}5)\right|=0{,}34.
  • Segundo erro (diferença entre p_{3} e p_{2}):
\left|p_{3}-p_{2}\right|\approx\left|-2{,}89384-(-2{,}84)\right|\approx0{,}05384.
Comentário importante: como o enunciado não deu um valor para \epsilon, não posso afirmar se o critério \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon foi satisfeito; eu forneci os valores numéricos das diferenças para que você compare com o \epsilon que tiver (por exemplo, se \epsilon=10^{-2} então a segunda diferença 0{,}05384>\epsilon, logo não satisfeita; se \epsilon=10^{-1} estaria satisfeita).

Resposta

Aproximação após duas iterações: p_{3}\approx-2{,}89384
Erros:
\left|p_{2}-p_{1}\right|=0{,}34
\left|p_{3}-p_{2}\right|\approx0{,}05384

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