Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon.
f(x)=x-0,8-0,2 \operatorname{sen}(x) \cdot p_{0}=0, p_{1}=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função e os pontos iniciais:
f(x)=x-0,8-0,2\sin(x),\qquad p_{0}=0,\qquad p_{1}=\frac{\pi}{2}.
O pedido é:
  • usar o método da secante e executar duas iterações (ou seja, aplicar a fórmula da secante duas vezes, gerando p_{2} e depois p_{3});
  • informar o erro da aproximação segundo a métrica \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Como \epsilon não foi dado, será calculado o valor numérico de |p_{3}-p_{2}| (essa é a métrica pedida).
Informações úteis dadas:
  • p_{0}=0 e p_{1}=\dfrac{\pi}{2} (peguei esses valores do enunciado).
  • A função é explícita: f(x)=x-0,8-0,2\sin(x).

Passo 2

O método da secante usa duas aproximações anteriores para estimar a próxima raiz sem precisar da derivada. A fórmula padrão é
p_{n+1}=p_{n}-f(p_{n})\frac{p_{n}-p_{n-1}}{f(p_{n})-f(p_{n-1})}.
Aqui:
  • p_{n-1} e p_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(p_{n-1}) e f(p_{n}) são os valores da função nesses pontos;
  • p_{n+1} é a nova aproximação.
Uma forma equivalente, algébrica, que às vezes simplifica cálculo é
p_{n+1}=\frac{f(p_{n})\,p_{n-1}-f(p_{n-1})\,p_{n}}{f(p_{n})-f(p_{n-1})},
obtida ao manipular a fórmula anterior. Vou usar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Primeira iteração: calcular p_{2} a partir de p_{0} e p_{1}.
Calcular primeiro f(p_{0}) e f(p_{1}).
f(p_{0})=f(0)=0-0,8-0,2\sin(0)=-0,8.
f(p_{1})=f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-0,8-0,2\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2}-0,8-0,2=\frac{\pi}{2}-1.
Agora usar a forma alternativa para p_{2}:
p_{2}=\frac{f(p_{1})\,p_{0}-f(p_{0})\,p_{1}}{f(p_{1})-f(p_{0})}.
Substituindo p_{0}=0, p_{1}=\dfrac{\pi}{2}, f(p_{0})=-0,8, f(p_{1})=\dfrac{\pi}{2}-1,
p_{2}=\frac{(\frac{\pi}{2}-1)\cdot 0-(-0,8)\cdot \frac{\pi}{2}}{(\frac{\pi}{2}-1)-(-0,8)} =\frac{0,8\cdot \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}-0,2} =\frac{0,4\pi}{\frac{\pi}{2}-0,2}.
Calculando numericamente (usar \pi\approx3,141592653589793):
p_{2}\approx 0,916724\quad(\text{aproximado com 6 casas decimais}).

Passo 4

Calcular f(p_{2}) para usar na segunda iteração. Precisamos de \sin(p_{2}).
Tomando p_{2}\approx 0,916724, faço uma aproximação para \sin(p_{2}) (usei a expansão em série até termo x^{7} para ter boa precisão manual):
\sin(p_{2})\approx p_{2}-\frac{p_{2}^{3}}{6}+\frac{p_{2}^{5}}{120}-\frac{p_{2}^{7}}{5040}\approx 0,793597.
(esse valor foi obtido desenvolvendo os potências de p_{2} e somando os termos; mantive precisão suficiente para a iteração.)
Agora
f(p_{2})=p_{2}-0,8-0,2\sin(p_{2})\approx 0,916724-0,8-0,2\cdot 0,793597\approx -0,041998.

Passo 5

Segunda iteração: calcular p_{3} usando p_{1} e p_{2} (as duas últimas aproximações).
Usando a fórmula da secante:
p_{3}=p_{2}-f(p_{2})\frac{p_{2}-p_{1}}{f(p_{2})-f(p_{1})}.
Já temos
p_{2}-p_{1}\approx 0,916724-1,5707963267948966\approx -0,654072,
f(p_{2})\approx -0,041998,\qquad f(p_{1})=\frac{\pi}{2}-1\approx 0,570796.
Então
f(p_{2})-f(p_{1})\approx -0,041998-0,570796\approx -0,612794,
e
\frac{f(p_{2})\,(p_{2}-p_{1})}{f(p_{2})-f(p_{1})}\approx \frac{(-0,041998)\cdot(-0,654072)}{-0,612794}\approx -0,044832.
Portanto
p_{3}\approx p_{2}-\bigl(-0,044832\bigr)\approx 0,916724+0,044832\approx 0,961556.
(Arredondei os valores intermediários; o resultado final tem precisão compatível com cálculos manuais.)

Passo 6

Calcular o erro segundo a métrica pedida \left|x_{i}-x_{i-1}\right|<\epsilon. Após duas iterações com as aproximações p_{2} e p_{3}, o erro estimado é
|p_{3}-p_{2}|\approx|0,961556-0,916724|\approx 0,044832.
Isso significa que, com essas duas iterações, a variação entre as últimas duas aproximações é aproximadamente 0,044832. Para que o critério |x_{i}-x_{i-1}|<\epsilon seja satisfeito seria necessário escolher \epsilon>0,044832 ou continuar iterando até que a diferença caia abaixo do \epsilon desejado.

Resposta

Aproximação após duas iterações: p_{3}\approx 0,961556
Erro pelo critério |x_{i}-x_{i-1}|: |p_{3}-p_{2}|\approx 0,044832

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