Usando método da Secante, encontre a aproximação da raiz após duas iterações. Utilize os ponto iniciais indicados e informe o erro da aproximação segundo a métrica
.
Passo 1
O enunciado dá a função e os pontos iniciais:
O pedido é:
- usar o método da secante e executar duas iterações (ou seja, aplicar a fórmula da secante duas vezes, gerando
e depois ); - informar o erro da aproximação segundo a métrica
. Como não foi dado, será calculado o valor numérico de (essa é a métrica pedida).
Informações úteis dadas:
-
e (peguei esses valores do enunciado). - A função é explícita:
.
Passo 2
O método da secante usa duas aproximações anteriores para estimar a próxima raiz sem precisar da derivada. A fórmula padrão é
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação.
Uma forma equivalente, algébrica, que às vezes simplifica cálculo é
obtida ao manipular a fórmula anterior. Vou usar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Primeira iteração: calcular
a partir de
e
.
Calcular primeiro
e
.
Agora usar a forma alternativa para
:
Substituindo
,
,
,
,
Calculando numericamente (usar
):
Passo 4
Calcular
para usar na segunda iteração. Precisamos de
.
Tomando
, faço uma aproximação para
(usei a expansão em série até termo
para ter boa precisão manual):
(esse valor foi obtido desenvolvendo os potências de
e somando os termos; mantive precisão suficiente para a iteração.)
Agora
Passo 5
Segunda iteração: calcular
usando
e
(as duas últimas aproximações).
Usando a fórmula da secante:
Já temos
Então
e
Portanto
(Arredondei os valores intermediários; o resultado final tem precisão compatível com cálculos manuais.)
Passo 6
Calcular o erro segundo a métrica pedida
. Após duas iterações com as aproximações
e
, o erro estimado é
Isso significa que, com essas duas iterações, a variação entre as últimas duas aproximações é aproximadamente
. Para que o critério
seja satisfeito seria necessário escolher
ou continuar iterando até que a diferença caia abaixo do
desejado.
Resposta
Aproximação após duas iterações:
Erro pelo critério :
Erro pelo critério