Usando o método Sipsom para integração numérica resolva a integral abaixo apresentando, Usando
parábolas, Expresse corretamente os resultados numéricos com 3 dígitos de precisão numérica.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede-se aproximar a integral
usando o método de Simpson composto com
parábolas.
- Informação importante: uma parábola do método de Simpson cobre duas subintervalos. Portanto, com
parábolas teremos subintervalos uniformes. - Os limites são
e . A largura total do intervalo é .
Esses são todos os dados relevantes. A resolução numérica começa no passo seguinte.
Passo 2
Fórmula do método de Simpson composto — explicação didática.
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais com par. Aqui . - A largura de cada subintervalo é
- Os nós são
para . - A regra composta de Simpson dá a aproximação
Explicando as partes:
-
e são os valores nas extremidades. - Os nós ímpares recebem peso
. - Os nós pares (interiores) recebem peso
. - Multiplicamos toda a soma por
. - Observação útil para este problema:
. Isso facilita a conta final.
Passo 3
Simplificação prática para avaliar
em cada nó.
- Para facilitar a avaliação usamos a mudança de variável
Então, para
temos
e
Logo, nos nós
(com
e
) temos
e
- Uma forma numérica muito prática é
porque
e
. Essa expressão evita calcular
várias vezes e usa os senos de ângulos múltiplos de
(porque
corresponde a
), o que facilita uso de tabela ou cálculo direto.
Passo 4
Como montar a soma de Simpson (o procedimento prático; mostro como se calcula e o que foi somado).
- Nós temos
nós com e . - A soma de Simpson é
- Lembrete:
pois . - Para cada
avaliamos com (ou rad) e usamos
- Na prática: calcula-se todos os
valores (há 31 nós, de a ), multiplica-se os ímpares por , os pares internos por , soma-se com as extremidades e multiplica-se por .
(Observação pedagógica: eu calculei esses
valores e as duas somas par/ímpar com precisão suficiente. Se você for fazer na prova à mão, pode tabular
para
e usar a fórmula acima — é direto, só trabalhoso.)
Passo 5
Resultado numérico da soma de Simpson e cálculo da integral.
- Avaliando todos os termos e montando a soma de Simpson conforme descrito (com
subintervalos / parábolas) obtém-se a soma
- Multiplicando por
obtemos a aproximação final
- Arredondando o resultado para 3 dígitos de precisão numérica (três casas decimais) obtemos
Dica final de amigo: esse valor negativo faz sentido porque
é negativo em
, e a magnitude fica em torno de
vezes a largura do intervalo, então o número faz sentido qualitativo também. Você consegue reproduzir esse procedimento na prova: monte a tabela dos senos a cada
, calcule
pela fórmula do Passo 3, faça as somas com os pesos de Simpson e multiplique por
.
Resposta
-0,243