Considerando-se os pontos experimentais abaixo. Aplique o método de Regressão Linear e determine a expressão matemática
via MMQ.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline \hline
&
&
&
\
\hline \hline 0.221 & 0.521 & 4.842 & 0.193 \
0.321 & 0.462 & 5.172 & 0.189 \
1.231 & 0.300 & 5.321 & 0.188 \
1.442 & 0.285 & 6.231 & 0.178 \
1.521 & 0.281 & 7.221 & 0.172 \
2.686 & 0.233 & 7.894 & 0.165 \
3.421 & 0.216 & 8.231 & 0.1632 \
\hline
\hline \hline
\hline \hline 0.221 & 0.521 & 4.842 & 0.193 \
0.321 & 0.462 & 5.172 & 0.189 \
1.231 & 0.300 & 5.321 & 0.188 \
1.442 & 0.285 & 6.231 & 0.178 \
1.521 & 0.281 & 7.221 & 0.172 \
2.686 & 0.233 & 7.894 & 0.165 \
3.421 & 0.216 & 8.231 & 0.1632 \
\hline
Passo 1
O enunciado pede: aplicar regressão linear (MMQ) para ajustar uma lei potência da forma
aos pontos experimentais fornecidos.
Dados (peguei os pares da tabela do enunciado):
Dados (peguei os pares da tabela do enunciado):
O que temos que encontrar: os parâmetros
e
que melhor ajustam esses 14 pontos pela lei potência indicada.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para ajustar uma lei potência
com MMQ usamos a transformação logarítmica para linearizar o problema. Definimos as variáveis:
Tomando logaritmo natural em
obtemos
ou seja
onde
. Agora é um problema de regressão linear simples para estimar
(intercepto) e
(coeficiente angular).
Fórmulas do MMQ para uma reta
com
pontos
:
Depois calculamos
. Nas fórmulas:
é o número de pontos,
é a soma das
-s,
a soma das
-s,
a soma dos quadrados e
a soma dos produtos correspondentes.
Passo 3
Calculei
para cada ponto (mostro os valores com aproximações razoáveis; cada log foi calculado a partir dos dados da tabela):
Observação: os valores acima são aproximações decimais dos logaritmos naturais; mantive 5 casas decimais nas
-s e 5 nas
-s para boa precisão no ajuste.
Passo 4
Computei as somas necessárias (apresento os resultados numéricos obtidos a partir da tabela de
):
Explicando: por exemplo
é a soma de todos os
listados no passo anterior,
é a soma de cada
e
é a soma de cada produto
. Os valores acima resultaram da soma desses termos (mostrei os pares no passo anterior).
Passo 5
Agora aplico a fórmula do coeficiente angular
. Calculo o numerador e denominador separadamente:
Portanto
Passo 6
Estimando o intercepto
:
Calculo interno:
Logo
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: obtivemos os parâmetros aproximados
Assim a lei potência ajustada pelo MMQ (na forma original) é aproximadamente
Esse é o modelo que melhor lineariza os dados pelo critério de mínimos quadrados na escala logarítmica (os cálculos acima usam aproximações decimais nos logs e nas somas; os coeficientes estão arredondados a três casas significativas no
e a quatro decimais em
).