Considerando-se os pontos experimentais abaixo. Aplique o método de Regressão Linear e determine a expressão matemática I(x)=a x^{B} via MMQ.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline \hline x & I(x) & x & I(x) \
\hline \hline 0.221 & 0.521 & 4.842 & 0.193 \
0.321 & 0.462 & 5.172 & 0.189 \
1.231 & 0.300 & 5.321 & 0.188 \
1.442 & 0.285 & 6.231 & 0.178 \
1.521 & 0.281 & 7.221 & 0.172 \
2.686 & 0.233 & 7.894 & 0.165 \
3.421 & 0.216 & 8.231 & 0.1632 \
\hline

Passo 1

O enunciado pede: aplicar regressão linear (MMQ) para ajustar uma lei potência da forma I(x)=a\,x^{B} aos pontos experimentais fornecidos.
Dados (peguei os pares da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &(0,221,\;0,521),\;(0,321,\;0,462),\;(1,231,\;0,300),\;(1,442,\;0,285),\\\ &(1,521,\;0,281),\;(2,686,\;0,233),\;(3,421,\;0,216),\;(4,842,\;0,193),\\\ &(5,172,\;0,189),\;(5,321,\;0,188),\;(6,231,\;0,178),\;(7,221,\;0,172),\\\ &(7,894,\;0,165),\;(8,231,\;0,1632). \end{aligned}
O que temos que encontrar: os parâmetros a e B que melhor ajustam esses 14 pontos pela lei potência indicada.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para ajustar uma lei potência I(x)=a\,x^{B} com MMQ usamos a transformação logarítmica para linearizar o problema. Definimos as variáveis:
u=\ln x,\qquad v=\ln I.
Tomando logaritmo natural em I(x)=a\,x^{B} obtemos
\ln I = \ln a + B\ln x,
ou seja
v = \alpha + B u,
onde \alpha=\ln a. Agora é um problema de regressão linear simples para estimar \alpha (intercepto) e B (coeficiente angular).
Fórmulas do MMQ para uma reta v=\alpha + B u com n pontos (u_i,v_i):
B=\frac{n\sum_{i}u_i v_i - \left(\sum_{i}u_i\right)\left(\sum_{i}v_i\right)} {\,n\sum_{i}u_i^2 - \left(\sum_{i}u_i\right)^2\,},
\alpha=\frac{1}{n}\left(\sum_{i}v_i - B\sum_{i}u_i\right).
Depois calculamos a=e^{\alpha}. Nas fórmulas: n é o número de pontos, \sum_i u_i é a soma das u-s, \sum_i v_i a soma das v-s, \sum_i u_i^2 a soma dos quadrados e \sum_i u_i v_i a soma dos produtos correspondentes.

Passo 3

Calculei (u_i,v_i)=(\ln x_i,\ln I_i) para cada ponto (mostro os valores com aproximações razoáveis; cada log foi calculado a partir dos dados da tabela):
\begin{aligned} &(\ln 0,221,\;\ln 0,521)=(-1,51045,\;-0,65397),\\\ &(\ln 0,321,\;\ln 0,462)=(-1,13595,\;-0,77253),\\\ &(\ln 1,231,\;\ln 0,300)=(0,20764,\;-1,20397),\\\ &(\ln 1,442,\;\ln 0,285)=(0,36651,\;-1,25407),\\\ &(\ln 1,521,\;\ln 0,281)=(0,41937,\;-1,26851),\\\ &(\ln 2,686,\;\ln 0,233)=(0,98901,\;-1,45628),\\\ &(\ln 3,421,\;\ln 0,216)=(1,23104,\;-1,53248),\\\ &(\ln 4,842,\;\ln 0,193)=(1,57702,\;-1,64444),\\\ &(\ln 5,172,\;\ln 0,189)=(1,64223,\;-1,66550),\\\ &(\ln 5,321,\;\ln 0,188)=(1,67100,\;-1,67200),\\\ &(\ln 6,231,\;\ln 0,178)=(1,82790,\;-1,72590),\\\ &(\ln 7,221,\;\ln 0,172)=(1,97460,\;-1,76070),\\\ &(\ln 7,894,\;\ln 0,165)=(2,06660,\;-1,80200),\\\ &(\ln 8,231,\;\ln 0,1632)=(2,10845,\;-1,81300). \end{aligned}
Observação: os valores acima são aproximações decimais dos logaritmos naturais; mantive 5 casas decimais nas u-s e 5 nas v-s para boa precisão no ajuste.

Passo 4

Computei as somas necessárias (apresento os resultados numéricos obtidos a partir da tabela de (u_i,v_i)):
\begin{aligned} n&=14,\\\ \sum_{i}u_i &\approx 13,43497,\\\ \sum_{i}v_i &\approx -20,22535,\\\ \sum_{i}u_i^2 &\approx 30,35404,\\\ \sum_{i}u_i v_i &\approx -25,00516. \end{aligned}
Explicando: por exemplo \sum_i u_i é a soma de todos os \ln x_i listados no passo anterior, \sum_i u_i^2 é a soma de cada (\ln x_i)^2 e \sum_i u_i v_i é a soma de cada produto \ln x_i\cdot\ln I_i. Os valores acima resultaram da soma desses termos (mostrei os pares no passo anterior).

Passo 5

Agora aplico a fórmula do coeficiente angular B. Calculo o numerador e denominador separadamente:
\begin{aligned} \text{numerador} &= n\sum_i u_i v_i - \left(\sum_i u_i\right)\left(\sum_i v_i\right)\\\ &=14\cdot(-25,00516) - (13,43497)\cdot(-20,22535)\\\ &\approx -350,07224 +271,72640\\\ &\approx -78,34584, \end{aligned}
\begin{aligned} \text{denominador} &= n\sum_i u_i^2 - \left(\sum_i u_i\right)^2\\\ &=14\cdot 30,35404 - (13,43497)^2\\\ &\approx 424,95656 - 180,49844\\\ &\approx 244,45812. \end{aligned}
Portanto
B \approx \frac{-78,34584}{244,45812}\approx -0,3206.

Passo 6

Estimando o intercepto \alpha=\ln a:
\alpha=\frac{1}{n}\left(\sum_i v_i - B\sum_i u_i\right) =\frac{1}{14}\left(-20,22535 - (-0,3206)\cdot 13,43497\right).
Calculo interno:
B\sum_i u_i \approx -0,3206\cdot 13,43497 \approx -4,30770,
\sum_i v_i - B\sum_i u_i \approx -20,22535 - (-4,30770) \approx -15,91765,
\alpha \approx -15,91765/14 \approx -1,1370.
Logo
a = e^{\alpha} \approx e^{-1,1370} \approx 0,321.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: obtivemos os parâmetros aproximados
a\approx 0,321,\qquad B\approx -0,3206.
Assim a lei potência ajustada pelo MMQ (na forma original) é aproximadamente
I(x)\approx 0,321\,x^{-0,3206}.
Esse é o modelo que melhor lineariza os dados pelo critério de mínimos quadrados na escala logarítmica (os cálculos acima usam aproximações decimais nos logs e nas somas; os coeficientes estão arredondados a três casas significativas no a e a quatro decimais em B).

Resposta

I(x)=0,321\,x^{-0,3206}

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