Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes constantes que é:
O objetivo aqui é resolver essa EDO usando o método da variação de parâmetros. Para isso, a gente precisa primeiro entender alguns conceitos básicos:
- EDO linear não-homogênea: É uma equação onde o termo independente (a parte que não depende de $ y $) não é zero, no caso, $ 12 e^{x} $.
- Coeficientes constantes: Os coeficientes de $ y’’ $, $ y’ $ e $ y $ são números reais constantes (no caso, 1, 3 e 2).
- Método da variação de parâmetros: Uma técnica para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea, partindo da solução geral da homogênea associada.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa, vamos encontrar a solução geral da homogênea. Fazemos isso resolvendo a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais distintas:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação não-homogênea:
A ideia é assumir que a solução particular tem a forma:
Aqui, $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular as derivadas de $ y_p $:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Mas para simplificar, fazemos uma condição para facilitar os cálculos:
Isso reduz a complexidade das derivadas.
Passo 5
Com essa condição, a expressão para $ y_p’ $ fica:
E a segunda derivada:
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Substituindo:
Simplificando os termos:
Isso simplifica para:
Loou! Mas lembrando que havíamos imposto a condição $ u_1’ e^{-x} + u_2’ e^{-2x} = 0 $, usamos isso anteriormente para simplificar.
Passo 6
Voltando à condição $ u_1’ e^{-x} + u_2’ e^{-2x} = 0 $, e sabendo que a substituição nos leva a outra equação, podemos montar o sistema:
Na verdade, ajustando os termos corretamente, resolvemos o sistema para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso resulta em:
Então:
Integrando:
E usando a primeira equação para encontrar $ u_1’ $:
Integrando:
Passo 7
Agora que temos $ u_1 $ e $ u_2 $, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.