Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=12 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes constantes que é:
y'' + 3y' + 2y = 12 e^x
O objetivo aqui é resolver essa EDO usando o método da variação de parâmetros. Para isso, a gente precisa primeiro entender alguns conceitos básicos:
  • EDO linear não-homogênea: É uma equação onde o termo independente (a parte que não depende de $ y $) não é zero, no caso, $ 12 e^{x} $.
  • Coeficientes constantes: Os coeficientes de $ y’’ $, $ y’ $ e $ y $ são números reais constantes (no caso, 1, 3 e 2).
  • Método da variação de parâmetros: Uma técnica para encontrar uma solução particular da EDO não-homogênea, partindo da solução geral da homogênea associada.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + 3y' + 2y = 0
Para resolver essa, vamos encontrar a solução geral da homogênea. Fazemos isso resolvendo a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, temos duas raízes reais distintas:
r1 = -1 e r2 = -2
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^-x + C2 e^-2x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação não-homogênea:
yp
A ideia é assumir que a solução particular tem a forma:
y'' + 3y' + 2y = 12 e^x
Aqui, $ u_1(x) $ e $ u_2(x) $ são funções que vamos determinar.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular as derivadas de $ y_p $:
  1. Primeira derivada:
yp
  1. Segunda derivada:
yp' = u1' e^-x - u1 e^-x + u2' e^-2x - 2u2 e^-2x
Mas para simplificar, fazemos uma condição para facilitar os cálculos:
yp'' = u1'' e^-x - 2u1' e^-x + u1 e^-x + u2'' e^-2x - 4u2' e^-2x + 4u2 e^-2x
Isso reduz a complexidade das derivadas.

Passo 5

Com essa condição, a expressão para $ y_p’ $ fica:
yp'
E a segunda derivada:
yp' = -u1 e^-x - 2u2 e^-2x
Agora, substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp'' = u1 e^-x + 4u2 e^-2x
Substituindo:
yp
Simplificando os termos:
yp'
Isso simplifica para:
yp''
Loou! Mas lembrando que havíamos imposto a condição $ u_1’ e^{-x} + u_2’ e^{-2x} = 0 $, usamos isso anteriormente para simplificar.

Passo 6

Voltando à condição $ u_1’ e^{-x} + u_2’ e^{-2x} = 0 $, e sabendo que a substituição nos leva a outra equação, podemos montar o sistema:
u1' e^-x + u2' e^-2x = 0
Na verdade, ajustando os termos corretamente, resolvemos o sistema para $ u_1’ $ e $ u_2’ $:
u1' e^-x + u2' e^-2x = 0 u1' (-x) + u2' (-2x) = 12 e^x
Subtraindo a primeira equação da segunda:
u1'
Isso resulta em:
u2'
Então:
u1' e^-x + u2' e^-2x = 0 u1' e^-x + 2u2' e^-2x = 12 e^x
Integrando:
(u1' e^-x + 2u2' e^-2x) - (u1' e^-x + u2' e^-2x) = 12 e^x - 0
E usando a primeira equação para encontrar $ u_1’ $:
u2' e^-2x = 12 e^x
Integrando:
u2' = 12 e^3x

Passo 7

Agora que temos $ u_1 $ e $ u_2 $, podemos escrever a solução particular:
u1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x - 2 e^x
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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