Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é linear não-homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
Para resolver isso, vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos resolver a parte homogênea dessa equação para depois encontrar uma solução particular que leve em conta o termo não-homogêneo, que nesse caso é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, igualamos o polinômio característico a zero:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não-homogênea:
Vamos usar o método da variação de parâmetros, que envolve encontrar funções
e
tais que:
Passo 6
Para aplicar a variação de parâmetros, primeiro calculamos as derivadas de
:
No método da variação de parâmetros, impomos que:
Isso simplifica os cálculos.
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para
e
:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Somamos com a segunda equação:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Integramos para encontrar
:
Fazendo uma substituição
,
, então
.
A integral se torna:
Infelizmente, essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares. Então, expressamos a solução particular de forma formal:
Onde
é a função integral cosseno.
Passo 10
De volta à primeira equação do sistema:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Então:
Passo 11
Integramos para encontrar
:
Fazendo a substituição
,
,
:
A integral fica:
Usando integração por partes:
Então:
Passo 12
Agora temos as funções
e
. A solução particular é:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.