Usando o método da variaça de parâmetro, resolva a edo linear não-homogênea com coeficientes constantes.
y^prime prime-3 y^prime+2 y=cos (e^-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é linear não-homogênea com coeficientes constantes. A equação é:
y'' - 3y' + 2y = cos(e^-x)
Para resolver isso, vamos usar o método da variação de parâmetros. Primeiro, precisamos resolver a parte homogênea dessa equação para depois encontrar uma solução particular que leve em conta o termo não-homogêneo, que nesse caso é cos(e^-x).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' - 3y' + 2y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução tem a forma y = e^rx. Substituindo na equação, temos:
(r^2 - 3r + 2)e^rx = 0
Como e^rx nunca é zero, igualamos o polinômio característico a zero:
r^2 - 3r + 2 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 - 3r + 2 = 0. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12
Então, as raízes são:
r1 = 2 e r2 = 1

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^x
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação não-homogênea:
y'' - 3y' + 2y = cos(e^-x)
Vamos usar o método da variação de parâmetros, que envolve encontrar funções u1(x) e u2(x) tais que:
yp = u1(x) e^2x + u2(x) e^x

Passo 6

Para aplicar a variação de parâmetros, primeiro calculamos as derivadas de yp:
yp' = u1' e^2x + 2u1 e^2x + u2' e^x + u2 e^x
yp'' = u1'' e^2x + 4u1' e^2x + 4u1 e^2x + u2'' e^x + 2u2' e^x + u2 e^x
No método da variação de parâmetros, impomos que:
u1' e^2x + u2' e^x = 0
Isso simplifica os cálculos.

Passo 7

Substituindo yp e suas derivadas na equação original:
y'' - 3y' + 2y = cos(e^-x)
Após simplificar, obtemos um sistema de equações para u1' e u2':
2u1' e^2x + u2' e^x = 0
-4u1' e^2x - u2' e^x = cos(e^-x)

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
4u1' e^2x + 2u2' e^x = 0
Somamos com a segunda equação:
(4u1' e^2x + 2u2' e^x) + (-4u1' e^2x - u2' e^x) = 0 + cos(e^-x)
Simplificando:
u2' e^x = cos(e^-x)
Então:
u2' = e^-x cos(e^-x)

Passo 9

Integramos para encontrar u2:
u2 = integral e^-x cos(e^-x) dx
Fazendo uma substituição t = e^-x, dt = -e^-x dx, então dx = -dtt.
A integral se torna:
u2 = -integral cos(t) dtt
Infelizmente, essa integral não tem uma solução em termos de funções elementares. Então, expressamos a solução particular de forma formal:
u2 = -Ci(e^-x)
Onde Ci é a função integral cosseno.

Passo 10

De volta à primeira equação do sistema:
2u1' e^2x + u2' e^x = 0
Sabemos que u2' = e^-x cos(e^-x), então:
2u1' e^2x + e^-x cos(e^-x) e^x = 0
Simplificando:
2u1' e^2x + cos(e^-x) = 0
Então:
u1' = -cos(e^-x)2 e^2x

Passo 11

Integramos para encontrar u1:
u1 = -12 integral e^-2x cos(e^-x) dx
Fazendo a substituição t = e^-x, dt = -e^-x dx, dx = -dtt:
A integral fica:
u1 = -12 integral t^2 cos(t) (-dtt) = 12 integral t cos(t) dt
Usando integração por partes:
integral t cos(t) dt = t sin(t) + cos(t) + C
Então:
u1 = 12 (t sin(t) + cos(t)) + C = 12 (e^-x sin(e^-x) + cos(e^-x)) + C

Passo 12

Agora temos as funções u1 e u2. A solução particular é:
yp = u1 e^2x + u2 e^x = 12 (e^-x sin(e^-x) + cos(e^-x)) e^2x - Ci(e^-x) e^x
Simplificando:
yp = 12 e^x sin(e^-x) + 12 e^2x cos(e^-x) - Ci(e^-x) e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^x + 12 e^x sin(e^-x) + 12 e^2x cos(e^-x) - e^x Ci(e^-x)
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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