Usando as operações elementares sobre matrizes, encontre uma matriz triangular superior semelhante a cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar operações elementares em matrizes para transformar a matriz dada em uma matriz triangular superior que seja semelhante a ela. Isso envolve entender conceitos de similaridade de matrizes e como aplicar operações básicas para chegar na forma desejada. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas matrizes serem semelhantes. Duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz invertível P tal que:
B = P^-1AP
Isso significa que mesmo que A e B pareçam diferentes, elas têm as mesmas propriedades fundamentais, como os mesmos autovalores.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar a matriz A em uma matriz triangular superior. Uma matriz triangular superior é aquela onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Para isso, vamos usar operações elementares de linha que, quando aplicadas corretamente, nos ajudarão a conseguir essa forma.
Passo 4
Vamos começar com a matriz A :
A = 4 & 8 3 & 5
Primeiro, queremos tornar o elemento abaixo da diagonal principal (que é 3) igual a zero. Para isso, vamos usar a operação de subtração de uma linha multiplicada por um escalar da outra linha.
Passo 5
Vamos eliminar o 3 abaixo do 4. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 34 e subtrair da segunda linha:
L2 = L2 - ( 34 )L1
Calculando:
L2 = 3 & 5 - 34 4 & 8 = 3 - 3 & 5 - 6 = 0 & -1
Então, a matriz fica:
4 & 8 0 & -1
Passo 6
Agora, nossa matriz já está quase triangular superior, pois o elemento abaixo da diagonal principal é zero. O próximo passo é verificar se todos os elementos abaixo da diagonal estão mesmo zerados, o que já conseguimos.
Passo 7
Pronto! A matriz triangular superior semelhante a A é: