Usando as operações elementares sobre matrizes, encontre uma matriz triangular superior semelhante a cada uma das seguintes matrizes:
E=(ll2 & 6 3 & 8)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma matriz triangular superior semelhante à matriz E = 2 & 6 3 & 8 . Para isso, vamos usar operações elementares sobre matrizes e conceitos de álgebra linear, como semelhança de matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas matrizes são semelhantes se existem uma matriz invertível P tal que P^-1EP seja a matriz desejada. No nosso caso, queremos que P^-1EP seja uma matriz triangular superior. Para encontrar essa matriz, precisamos determinar os autovalores e autovetores de E .

Passo 3

Vamos encontrar os autovalores de E . Os autovalores são valores de lambda que satisfazem a equação característica:
det(E - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando o determinante:
E - lambda I = 2 - lambda & 6 3 & 8 - lambda
det(E - lambda I) = (2 - lambda)(8 - lambda) - (6)(3) = lambda^2 - 10lambda + 16 - 18 = lambda^2 - 10lambda - 2 = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 10lambda - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 10 pm raiz100 + 82 = 10 pm raiz1082 = 10 pm 6raiz32 = 5 pm 3raiz3
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 5 + 3raiz3 e lambda2 = 5 - 3raiz3

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos (E - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 5 + 3raiz3 :
E - lambda1 I = 2 - (5 + 3raiz3) & 6 3 & 8 - (5 + 3raiz3) = -3 - 3raiz3 & 6 3 & 3 - 3raiz3
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor correspondente a lambda1 :
v1 = 1 3 + 3raiz36 = 1 1 + raiz32
Para lambda2 = 5 - 3raiz3 :
E - lambda2 I = 2 - (5 - 3raiz3) & 6 3 & 8 - (5 - 3raiz3) = -3 + 3raiz3 & 6 3 & 3 + 3raiz3
Resolvendo o sistema, encontramos um autovetor correspondente a lambda2 :
v2 = 1 3 - 3raiz36 = 1 1 - raiz32

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, construímos a matriz P cujas colunas são os autovetores de E :
P = 1 & 1 1 + raiz32 & 1 - raiz32
Em seguida, calculamos a inversa de P , P^-1 , e multiplicamos P^-1EP para obter a matriz triangular superior.

Resposta

A matriz triangular superior semelhante a E é a matriz diagonal formada pelos seus autovalores:
5 + 3raiz3 & 0 0 & 5 - 3raiz3

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