Verdadeiro ou falso? Se for falso, dê um exemplo no qual a propriedade falha.
(-A)^top=-A^top.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: (-A)^top = -A^top. O exercício pede para determinar se essa propriedade é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com propriedades de matrizes e transposição, e para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transposição de uma matriz e a multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz A, denotada por A^top, é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se A é uma matriz 2x3, então A^top será uma matriz 3x2.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz -A. Multiplicar uma matriz por -1 significa multiplicar cada elemento da matriz por -1. Então, -A é simplesmente a matriz A com todos os seus elementos invertidos em sinal.

Passo 4

Queremos saber se a transposta de -A é igual a -A^top. Vamos calcular ambos os lados:
  • A transposta de -A é (-A)^top.
  • O negativo da transposta de A é -A^top.

Passo 5

Vamos comparar os dois resultados:
(-A)^top significa que primeiro multiplicamos A por -1 e depois transponemos.
-A^top significa que primeiro transponemos A e depois multiplicamos por -1.

Passo 6

Como a multiplicação por um escalar e a transposição são operações que comutam, ou seja, a ordem não altera o resultado, temos que:
(-A)^top = -A^top.

Resposta

Verdadeiro.

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