Verdadeiro ou falso? Se for falso, dê um exemplo no qual a propriedade falha.
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação:
. O exercício pede para determinar se essa propriedade é verdadeira ou falsa. Estamos trabalhando com propriedades de matrizes e transposição, e para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transposição de uma matriz e a multiplicação por um escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa transpor uma matriz. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando suas linhas por colunas. Por exemplo, se
é uma matriz 2x3, então
será uma matriz 3x2.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz
. Multiplicar uma matriz por
significa multiplicar cada elemento da matriz por
. Então,
é simplesmente a matriz
com todos os seus elementos invertidos em sinal.
Passo 4
Queremos saber se a transposta de
é igual a
. Vamos calcular ambos os lados:
- A transposta de
é . - O negativo da transposta de
é .
Passo 5
Vamos comparar os dois resultados:
significa que primeiro multiplicamos
por
e depois transponemos.
significa que primeiro transponemos
e depois multiplicamos por
.
Passo 6
Como a multiplicação por um escalar e a transposição são operações que comutam, ou seja, a ordem não altera o resultado, temos que:
.
Resposta
Verdadeiro.