Usando o princípio de indução, prove que
n^3-n é divisível por 6 , para todo número natural n.
Obs 1 : Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3.
Obs2:(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente prove, usando o princípio da indução, que
n^3 - n
é divisível por 6 para todo .
Conteúdo/matéria que vamos usar:
  • Princípio da indução matemática (base e passo indutivo).
  • Noção de divisibilidade: “um número é divisível por ” significa que existe um inteiro tal que .
  • Expansão binomial para calcular .

Passo 2

Base da indução ( 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0):
Calculemos
Como 0 é divisível por qualquer número diferente de zero (existe tal que ), a propriedade vale para .

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k^3 - k já seja verdade que
k^3 - k = 6m
é múltiplo de 6. Ou seja, existe um inteiro (k+1)^3 - (k+1) tal que
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2cdot1 + 3kcdot1^2 + 1^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
Agora queremos mostrar que também
(k+1)^3 - (k+1) = l(k^3 + 3k^2 + 3k + 1r) - (k+1) = (k^3 - k) + 3k^2 + 3k
é múltiplo de 6.
  1. Expanda (k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k(k+1) pelo binômio:
(k+1)^3 - (k+1) = 6m + 6ell = 6,(m+ell),
  1. Subtraia :
  1. Agrupe . Logo
  1. Pela hipótese indutiva, . Resta ver que também é múltiplo de 6:
  • é produto de dois números consecutivos, então um deles é par. Logo para algum inteiro .
  • Então .
  1. Somando as duas partes:
que é múltiplo de 6. Assim fechamos o passo indutivo.

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução, é divisível por 6 para todo número natural .

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