Usando o princípio de indução, prove que
é divisível por 6 , para todo número natural
.
Obs
: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3.
.
Obs
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente prove, usando o princípio da indução, que
é divisível por 6 para todo
.
Conteúdo/matéria que vamos usar:
Conteúdo/matéria que vamos usar:
- Princípio da indução matemática (base e passo indutivo).
- Noção de divisibilidade: “um número
é divisível por ” significa que existe um inteiro tal que . - Expansão binomial
para calcular .
Passo 2
Base da indução (
):
Calculemos
Calculemos
Como 0 é divisível por qualquer número diferente de zero (existe
tal que
), a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
já seja verdade que
é múltiplo de 6. Ou seja, existe um inteiro
tal que
Agora queremos mostrar que também
é múltiplo de 6.
- Expanda
pelo binômio:
- Subtraia
:
- Agrupe
. Logo
- Pela hipótese indutiva,
. Resta ver que também é múltiplo de 6:
-
é produto de dois números consecutivos, então um deles é par. Logo para algum inteiro . - Então
.
- Somando as duas partes:
que é múltiplo de 6. Assim fechamos o passo indutivo.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução,
é divisível por 6 para todo número natural
.