Usando a Proposição e sabendo que para cada número real x_{0} vale
\lim _{x \rightarrow x_{0}} x=x_{0} \quad \text { e } \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} 1=1,
calcule e justifique os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow 9} \pi^{2};

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pedido: calcular \lim_{x\to 9} \pi^{2}.
  • Informações dadas (que podemos usar): para todo x_{0} real vale \lim_{x\to x_{0}} x = x_{0} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_{0}} 1 = 1.
  • Vamos usar propriedades usuais de limites (aritmética de limites): soma, produto e multiplicação por constante. Essas propriedades permitem combinar limites conhecidos para obter o limite pedido.

Passo 2

Explicando a propriedade que vamos usar: produto e multiplicação por constante.
  • Produto de limites: se duas funções f e g têm limites quando x\to x_{0}, isto é,
    \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_{0}} g(x)=M,
    então vale
    \lim_{x\to x_{0}} \big(f(x)\,g(x)\big)=L\cdot M.
    Aqui L e M são apenas números (os limites de f e g). Intuitivamente: quando f(x) fica perto de L e g(x) fica perto de M, o produto fica perto de L\cdot M.
  • Multiplicação por constante: se c é um número fixo (constante) e \lim_{x\to x_{0}} h(x)=H, então
    \lim_{x\to x_{0}} \big(c\cdot h(x)\big)=c\cdot H.
    Esta é uma consequência do produto de limites, tomando uma função constante igual a c.
Vou usar essas regras explicitamente e mostrar como obter o limite de uma função constante como \pi e depois de \pi^{2}.

Passo 3

Mostrar que o limite da função constante \pi é \pi.
  • A função constante \pi pode ser escrita como \pi=\pi\cdot 1 para todos x.
  • Sabemos que \lim_{x\to 9} 1 = 1 (foi dado).
  • Aplicando a propriedade “multiplicação por constante” com c=\pi e h(x)=1, obtemos \lim_{x\to 9} \pi = \lim_{x\to 9} \big(\pi\cdot 1\big) = \pi\cdot \lim_{x\to 9} 1 = \pi\cdot 1 = \pi.
  • Comentário prático: isso é óbvio — uma função que vale sempre \pi tem limite \pi — mas aqui ficou justificado usando a propriedade dada.

Passo 4

Usar o produto para obter o limite de \pi^{2}.
  • Note que \pi^{2}=\pi\cdot\pi.
  • Aplicando a propriedade do produto de limites com f(x)\equiv \pi e g(x)\equiv \pi, e usando o resultado do Passo 3, temos \lim_{x\to 9} \pi^{2} = \lim_{x\to 9} \big(\pi\cdot \pi\big) = \big(\lim_{x\to 9} \pi\big)\cdot \big(\lim_{x\to 9} \pi\big) = \pi\cdot \pi = \pi^{2}.

Passo 5

Resumo didático e exemplo curto para fixar:
  • Regra prática: o limite de uma constante (qualquer número fixo) é a própria constante. Então sempre que aparecer \lim_{x\to a} c com c constante, o resultado é c.
  • Exemplo rápido: \lim_{x\to 2} 7 = 7. Aqui usamos a mesma ideia que usamos para \pi.

Resposta

\pi^{2}

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