Usando a Proposição e sabendo que para cada número real
vale
calcule e justifique os limites abaixo:
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pedido: calcular
. - Informações dadas (que podemos usar): para todo
real vale - Vamos usar propriedades usuais de limites (aritmética de limites): soma, produto e multiplicação por constante. Essas propriedades permitem combinar limites conhecidos para obter o limite pedido.
Passo 2
Explicando a propriedade que vamos usar: produto e multiplicação por constante.
-
Produto de limites: se duas funções
e têm limites quando , isto é, então valeAquie são apenas números (os limites de e ). Intuitivamente: quando fica perto de e fica perto de , o produto fica perto de . -
Multiplicação por constante: se
é um número fixo (constante) e , então Esta é uma consequência do produto de limites, tomando uma função constante igual a.
Vou usar essas regras explicitamente e mostrar como obter o limite de uma função constante como
e depois de
.
Passo 3
Mostrar que o limite da função constante
é
.
- A função constante
pode ser escrita como para todos . - Sabemos que
(foi dado). - Aplicando a propriedade “multiplicação por constante” com
e , obtemos - Comentário prático: isso é óbvio — uma função que vale sempre
tem limite — mas aqui ficou justificado usando a propriedade dada.
Passo 4
Usar o produto para obter o limite de
.
- Note que
. - Aplicando a propriedade do produto de limites com
e , e usando o resultado do Passo 3, temos
Passo 5
Resumo didático e exemplo curto para fixar:
- Regra prática: o limite de uma constante (qualquer número fixo) é a própria constante. Então sempre que aparecer
com constante, o resultado é . - Exemplo rápido:
. Aqui usamos a mesma ideia que usamos para .