Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim x 12 2 x^2+3 x-28 x^3-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos calcular o limite da função 2x^2+3x-28x^3-1 quando x se aproxima de 12. Para isso, vamos usar as propriedades de limites e verificar se conseguimos simplificar a expressão.

Passo 2

Vamos começar substituindo x por 12 no numerador e no denominador para ver o que acontece:
No numerador:
2(12)^2 + 3(12) - 2 = 2(14) + 32 - 2 = 12 + 32 - 2 = 2 - 2 = 0
No denominador:
8(12)^3 - 1 = 8(18) - 1 = 1 - 1 = 0
Como obtivemos 00, que é uma indeterminação, precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para tentar simplificar a expressão:
Numerador: 2x^2 + 3x - 2
Procura-se dois números que multiplicados dão 2 times (-2) = -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1.
Então, fatorando:
2x^2 + 4x - x - 2 = 2x(x + 2) -1(x + 2) = (2x -1)(x + 2)
Denominador: 8x^3 - 1
Reconhecemos que isso é uma diferença de cubos:
8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x -1)(4x^2 + 2x +1)

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
2x^2+3x-28x^3-1 = (2x -1)(x + 2)(2x -1)(4x^2 + 2x +1)
Podemos simplificar cancelando o fator comum (2x -1):
(2x -1)(x + 2)(2x -1)(4x^2 + 2x +1) = x + 24x^2 + 2x +1

Passo 5

Agora, substituímos novamente x por 12 na expressão simplificada:
Numerador:
x + 2 = 12 + 2 = 52
Denominador:
4(12)^2 + 2(12) +1 = 4(14) +1 +1 = 1 +1 +1 = 3

Resposta

Portanto, o limite é 56.

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