Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim n +infty 1+2+3+ldots+nn^2
Sugestão: Para o item (h), use sumk=1^n k=n(n+1)2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve somar os números de 1 até n e dividir pelo quadrado de n. O conteúdo aqui é cálculo de limites, e para isso, vamos usar uma fórmula que ajuda a somar uma sequência de números inteiros. Precisamos saber como somar esses números e simplificar a expressão para encontrar o limite conforme n vai pra infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está no numerador: a soma de 1 + 2 + 3 + … + n. Essa soma pode ser representada pela fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, que é sumk=1^n k = n(n+1)2. Então, substituindo isso na expressão original, temos:
lim n +infty 1+2+3+ldots+nn^2 = lim n +infty n(n+1)2n^2

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração. Ao dividir n(n+1)2 por n^2, podemos reescrever assim:
n(n+1)2n^2 = n(n+1)2n^2 = n+12n

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais dividindo cada termo do numerador por n:
n+12n = n2n + 12n = 12 + 12n

Passo 5

Agora, analisamos o comportamento de cada termo quando n tende ao infinito. O termo 12 permanece o mesmo, e o termo 12n vai tendendo a zero porque o denominador cresce sem limite.

Resposta

Portanto, o limite é 12.

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