Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim omega pi6 sen(omega-pi6)cotg^3 omega-3 cotg omega

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos que calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de limites e algumas fórmulas trigonométricas básicas. Precisaremos saber como calcular limites de funções trigonométricas e aplicar a regra de L’Hôpital quando encontrarmos uma forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando sen(omega - pi6) sen(0) = 0 se aproxima de cot omega = cos omegasen omega .
No numerador:
No denominador:
Quando cot (pi6) = cos pi6sen pi6 = raiz3212 = raiz3 ,
Portanto,
cot^3 omega - 3 cot omega = (raiz3)^3 - 3 raiz3 = 3raiz3 - 3raiz3 = 0
Assim, temos uma forma indeterminada .

Passo 3

Como temos uma forma limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos diz que:
desde que os limites existam.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a .

Passo 4

Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
ddomega sen(omega - pi6) = cos(omega - pi6)

Passo 5

Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:
lim omega pi6 cos(omega - pi6)3 csc^2 omega (1 - cot^2 omega)
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Sabemos que:
Além disso, usamos a identidade trigonométrica:
csc omega = 1sen omega e cot omega = cos omegasen omega
Mas para simplificar, observamos que 1 + cot^2 omega = csc^2 omega implies 1 - cot^2 omega = 1csc^2 omega - cot^2 omega = -cot^2 omega + 1csc^2 omega .

Passo 7

Substituindo na expressão:
lim omega pi6 cos(omega - pi6)3 csc^2 omega (-tan^2 omega) = lim omega pi6 cos(omega - pi6)-3 csc^2 omega tan^2 omega
Simplificando os sinais:
lim omega pi6 -cos(omega - pi6)3 csc^2 omega tan^2 omega

Passo 8

Agora, calculamos cada parte separadamente em cos(pi6 - pi6) = cos(0) = 1 :
csc (pi6) = 1sen pi6 = 2
Então,
csc^2 (pi6) = 4
tan (pi6) = 1raiz3
Então,
tan^2 (pi6) = 13

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão:
-13 cdot 4 cdot 13 = -13 cdot 4 cdot 13 = -14

Resposta

O limite é .

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