Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos que calcular o limite:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades de limites e algumas fórmulas trigonométricas básicas. Precisaremos saber como calcular limites de funções trigonométricas e aplicar a regra de L’Hôpital quando encontrarmos uma forma indeterminada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
No numerador:
No denominador:
Quando
,
Portanto,
Assim, temos uma forma indeterminada
.
Passo 3
Como temos uma forma
, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos diz que:
desde que os limites existam.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
.
Passo 4
Derivando o numerador:
Derivando o denominador:
Passo 5
Agora, aplicando a regra de L’Hôpital:
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Sabemos que:
Além disso, usamos a identidade trigonométrica:
Mas para simplificar, observamos que
.
Passo 7
Substituindo na expressão:
Simplificando os sinais:
Passo 8
Agora, calculamos cada parte separadamente em
:
Então,
Então,
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O limite é
.