Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites na matemática, mais especificamente às propriedades de limites. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que o limite que temos aqui está ligado à definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 1. Ao substituir
diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero:
Isso é uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 3
Nesse caso, podemos usar L’Hospital’s Rule, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites que resultam em indeterminações. A regra diz que se
resulta em
ou
, então:
Desde que as derivadas existam e o limite no lado direito exista.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Primeiro, identificamos
e
. Agora, vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite, temos:
Agora, substituímos
:
Resposta
O limite é
.