Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim t 1 raiz[3]t-1t-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites na matemática, mais especificamente às propriedades de limites. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que o limite que temos aqui está ligado à definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando raiz[3]1 - 11 - 1 = 1 - 10 = 00 se aproxima de 1. Ao substituir diretamente na expressão, tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero:
Isso é uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos de outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 3

Nesse caso, podemos usar L’Hospital’s Rule, que é uma ferramenta poderosa para resolver limites que resultam em indeterminações. A regra diz que se limt to a f(t)g(t) = limt to a f'(t)g'(t) resulta em ou , então:
Desde que as derivadas existam e o limite no lado direito exista.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Primeiro, identificamos f(t) = t^1/3 Rightarrow f'(t) = 13 t^-2/3 = 13 raiz[3]t^2 e g(t) = t - 1 Rightarrow g'(t) = 1 . Agora, vamos calcular as derivadas de e :

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite, temos:
lim t 1 raiz[3]t-1t-1 = lim t 1 f'(t)g'(t) = lim t 1 13 raiz[3]t^21 = lim t 1 13 raiz[3]t^2
Agora, substituímos 13 raiz[3]1^2 = 13 times 1 = 13 :

Resposta

O limite é .

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