Usando o valor de a indicado para cada item, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e caso exista, lim x a f(x). Esboce o gráfico de f.
f(x)=clx+2|x+2|, & x neq-2 0, & x=-2 (a=-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os limites de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Depois, vamos ver se o limite geral existe. Por último, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e entender como a função está definida para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de f(x) = x + 2|x + 2|, & x neq -2 0, & x = -2 quando |x + 2| = -(x + 2) se aproxima de f(x) = x + 2-(x + 2) = -1 pela esquerda, ou seja, limx -2^- f(x) = -1 .
A função está definida assim:
Quando está se aproximando de pela esquerda ( ), vamos analisar a expressão .
Para , é negativo. O valor absoluto de um número negativo é o oposto dele, então:
Substituindo na função:
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o limite de |x + 2| = x + 2 quando f(x) = x + 2x + 2 = 1 se aproxima de limx -2^+ f(x) = 1 pela direita, ou seja, .
Quando está se aproximando de pela direita ( ), novamente olhamos para a expressão .
Para , é positivo. O valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, então:
Substituindo na função:
Então, o limite pela direita é:

Passo 4

Agora que temos os limites pelas duas direções, vamos verificar se o limite geral limx -2^- f(x) = -1 e limx -2^+ f(x) = 1 existe.
Para que o limite geral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Aqui, vimos que:
limx -2 f(x) não existe
Como , os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite geral não existe:
ã

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função .
  • Para , . Então, desenhamos uma reta horizontal em para todos os menores que .
  • No ponto , . Então, colocamos um ponto aberto ou fechado em dependendo da definição, mas aqui como , colocamos um ponto cheio em .
  • Para , . Então, desenhamos outra reta horizontal em para todos os maiores que .
O gráfico vai ter duas linhas horizontais, uma em e outra em , com um ponto no meio em .

Resposta

limx -2^- f(x) = -1, limx -2^+ f(x) = 1
O limite não existe.
O gráfico de possui uma reta horizontal em para , um ponto em , e outra reta horizontal em para .

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