Usando o valor de a indicado para cada item, determine
e caso exista,
. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os limites de
quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
). Depois, vamos ver se o limite geral
existe. Por último, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e entender como a função está definida para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja,
.
A função está definida assim:
Quando
está se aproximando de
pela esquerda (
), vamos analisar a expressão
.
Para
,
é negativo. O valor absoluto de um número negativo é o oposto dele, então:
Substituindo na função:
Então, o limite pela esquerda é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
pela direita, ou seja,
.
Quando
está se aproximando de
pela direita (
), novamente olhamos para a expressão
.
Para
,
é positivo. O valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, então:
Substituindo na função:
Então, o limite pela direita é:
Passo 4
Agora que temos os limites pelas duas direções, vamos verificar se o limite geral
existe.
Para que o limite geral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Aqui, vimos que:
Como
, os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite geral não existe:
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
.
- Para
, . Então, desenhamos uma reta horizontal em para todos os menores que . - No ponto
, . Então, colocamos um ponto aberto ou fechado em dependendo da definição, mas aqui como , colocamos um ponto cheio em . - Para
, . Então, desenhamos outra reta horizontal em para todos os maiores que .
O gráfico vai ter duas linhas horizontais, uma em
e outra em
, com um ponto no meio em
.
Resposta
O limite
não existe.
O gráfico de
possui uma reta horizontal em
para
, um ponto em
, e outra reta horizontal em
para
.