Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim u 4 raiz3 u-8-2raizu-2-raiz2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função quando se aproxima de 4. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, utilizando propriedades de limites e álgebra para simplificar expressões. Para resolver esse problema, vamos precisar manipular raízes quadradas e aplicar técnicas de racionalização.

Passo 2

Vamos começar substituindo raiz3(4) - 8 - 2raiz4 - 2 - raiz2 = raiz12 - 8 - 2raiz2 - raiz2 = raiz4 - 20 = 2 - 20 = 00 na expressão para verificar se conseguimos calcular o limite diretamente:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar tanto o numerador quanto o denominador. Isso significa que vamos multiplicar e dividir cada parte pela sua forma conjugada para eliminar as raízes.
Primeiro, racionalizamos o numerador raiz3u - 8 - 2 = (raiz3u - 8 - 2)(raiz3u - 8 + 2)raiz3u - 8 + 2 = (3u - 8) - 4raiz3u - 8 + 2 = 3u - 12raiz3u - 8 + 2 :
3(u - 4)raiz3u - 8 + 2
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, racionalizamos o denominador raizu - 2 - raiz2 = (raizu - 2 - raiz2)(raizu - 2 + raiz2)raizu - 2 + raiz2 = (u - 2) - 2raizu - 2 + raiz2 = u - 4raizu - 2 + raiz2 :

Passo 5

Substituindo as expressões racionalizadas no limite original, temos:
limu to 4 3(u - 4)raiz3u - 8 + 2u - 4raizu - 2 + raiz2 = limu to 4 3(u - 4)raiz3u - 8 + 2 cdot raizu - 2 + raiz2u - 4
Podemos simplificar limu to 4 3raiz3u - 8 + 2 cdot (raizu - 2 + raiz2) que está no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, substituímos 3raiz3(4) - 8 + 2 cdot (raiz4 - 2 + raiz2) = 3raiz12 - 8 + 2 cdot (raiz2 + raiz2) = 32 + 2 cdot (2raiz2) = 34 cdot 2raiz2 = 6raiz24 = 3raiz22 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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