Usando as propriedades de limite, calcule os seguintes limites: lim x a x^3-a^3x^2-a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando se aproxima de . O conteúdo aqui envolve cálculo de limites e algebra de polinômios. Vamos precisar entender como fatorar expressões e simplificar frações para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a expressão do limite:
lim x a x^3-a^3x^2-a^2
Notamos que tanto o numerador quanto o denominador são diferenças de potências, que podemos fatorar.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2) . Isso é uma diferença de cubos, e a fatoração fica assim:

Passo 4

Agora, fatoramos o denominador x^2 - a^2 = (x - a)(x + a) . Isso é uma diferença de quadrados, que fatoramos da seguinte maneira:

Passo 5

Substituímos as fatoraçãos na expressão do limite:
lim x a (x - a)(x^2 + ax + a^2)(x - a)(x + a)
Perceba que temos um no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse termo, desde que , o que é válido no contexto do limite.

Passo 6

Após cancelar lim x a x^2 + ax + a^2x + a , a expressão fica:
Agora, podemos substituir por , pois a expressão está simplificada e não gera mais indeterminação.

Passo 7

Substituindo a^2 + a cdot a + a^2a + a = a^2 + a^2 + a^22a = 3a^22a :
3a2
Simplificando , dividimos por :

Resposta

O limite é igual a .

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