Usando as propriedades do somatório e considerando \mathrm{k}=3, calcule:
\quad \sum_{i=0}^{5}(k+i)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a soma \displaystyle \sum_{i=0}^{5}(k+i).
  • Diz para considerar k=3.
  • Pede calcular o valor numérico dessa soma quando k=3.

Passo 2

Propriedade fundamental que vamos usar: a soma é linear, ou seja, somar uma soma termo a termo é igual à soma das somas separadas. Em fórmulas:
\sum_{i=m}^{n}\big(A_i+B_i\big)=\sum_{i=m}^{n}A_i+\sum_{i=m}^{n}B_i.
Aplicando ao nosso caso:
\sum_{i=0}^{5}(k+i)=\sum_{i=0}^{5}k+\sum_{i=0}^{5}i.

Passo 3

Conta o número de termos e avalia a soma do termo constante:
  • Os índices vão de i=0 até i=5 inclusive, então há 6 termos.
  • Somar uma constante k 6 vezes dá 6k. Logo
\sum_{i=0}^{5}k=6k.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \sum_{i=0}^{5}i. Duas maneiras simples:
  • Soma direta: 0+1+2+3+4+5=15.
  • Ou usando a fórmula dos inteiros 1 até n:
\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.
Tomando n=5 obtemos \displaystyle \sum_{i=1}^{5}i=\frac{5\cdot6}{2}=15. Como o termo i=0 soma 0, temos \displaystyle \sum_{i=0}^{5}i=15.

Passo 5

Juntando os resultados:
\sum_{i=0}^{5}(k+i)=6k+15.
Substituindo k=3:
6\cdot3+15=18+15=33.

Passo 6

Observação alternativa (útil na prova): a sequência dos termos é k,\,k+1,\,\dots,\,k+5, uma progressão aritmética com 6 termos. Soma de uma PA é número de termos vezes média dos extremos:
\text{soma}=6\cdot\frac{(k)+(k+5)}{2}=6\cdot\frac{2k+5}{2}=6k+15,
chegando ao mesmo resultado.

Resposta

33

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