Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that Z has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for z that solves each of the following:
P(-\underline{z}<Z<z)=0.68

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor de z tal que
P(-\underline{z}<Z<z)=0,68,
onde Z tem distribuição normal padrão.
Informações dadas e assumidas: Z\sim N(0,1) (ou seja, média 0 e variância 1) e devemos usar a Appendix Table III (tabela da distribuição normal padrão) para determinar z. Não há outras condições.

Passo 2

Entendendo o que significa a probabilidade pedida e como transformar isso numa forma utilizável.
Defina a função de distribuição acumulada da normal padrão por
\Phi(t)=P(Z\le t).
A probabilidade central que queremos pode ser escrita em termos de \Phi usando simetria da normal padrão:
P(-z<Z<z)=P(Z<z)-P(Z\le -z)=\Phi(z)-\Phi(-z).
Como a normal padrão é simétrica em zero, vale \Phi(-z)=1-\Phi(z). Substituindo,
P(-z<Z<z)=\Phi(z)-(1-\Phi(z))=2\Phi(z)-1.
Portanto o problema reduz-se a achar z que satisfaça
2\Phi(z)-1=0,68.

Passo 3

Isolando \Phi(z):
\Phi(z)=\frac{0,68+1}{2}=\frac{1,68}{2}=0,84.
Então precisamos achar z tal que
\Phi(z)=0,84.
A Appendix Table III dá valores de \Phi(t) (área à esquerda de um t). Logo, buscamos na tabela a linha/coluna onde a área é 0,84 (ou o valor mais próximo).

Passo 4

Consultando a Appendix Table III (peguei os valores diretamente da tabela):
\Phi(0,99)=0,8389 e \Phi(1,00)=0,8413. Esses dois valores envolvem 0,84, pois
0,8389 < 0,84 < 0,8413.
Como a tabela dá valores em centésimos, faço uma interpolação linear entre z=0,99 e z=1,00 para obter um valor mais preciso de z correspondente a \Phi(z)=0,84.

Passo 5

Detalhes da interpolação linear (método e motivação): se (z_1,\Phi_1)=(0,99,0,8389) e (z_2,\Phi_2)=(1,00,0,8413), então para \Phi^*=0,84 a aproximação linear dá
z = z_1 + \frac{\Phi^*-\Phi_1}{\Phi_2-\Phi_1}\,(z_2-z_1).
Substituindo números:
\Phi_2-\Phi_1=0,8413-0,8389=0,0024,
\Phi^*-\Phi_1=0,84-0,8389=0,0011,
z = 0,99 + \frac{0,0011}{0,0024}\cdot 0,01.
Calcule a razão:
\frac{0,0011}{0,0024}\approx 0,458333\ldots
Multiplicando por 0,01:
0,458333\ldots \times 0,01 \approx 0,00458333\ldots
Somando a 0,99:
z \approx 0,9900 + 0,00458333\ldots \approx 0,99458333\ldots

Passo 6

Arredondamento e interpretação final: o valor aproximado encontrado é z\approx 0,9946. Em notação com três casas decimais costuma-se escrever z\approx 0,995. Esse z satisfaz P(-z<Z<z)\approx 0,68. Força — agora você já sabe como transformar uma probabilidade central simétrica em um quantil da normal e como usar/interpolar a tabela.

Resposta

z\approx 0,9946

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