Usando a regra da cadeia bem como as propriedades de derivadas encontre as derivadas das funções abaixo
y=raiz[4]x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função y=√[4]{x²+x}, ou seja y é composta por uma raiz quarteira e um polinômio, então o conteúdo trabalhado é derivada de função composta (regra da cadeia) e propriedades de derivadas de derivadas de potências.

Passo 2

Primeiro a gente reescreve a raiz quarteira como potência fracionária. Assim, definimos y=(x²+x)^1/4². Isso deixa claro que a parte interna é u=x²+x² e a externa é elevar u à 1/4.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia. Se temos y=u^1/4 e u=x²+x², então
y' = 14u^1/4-1cdot u' = 14u^-3/4cdot u'

Passo 4

Precisamos derivar a parte interna u=x²+x². Usando a regra do poder em cada termo,
u' = ddx(x²+x) = 2x+1²

Passo 5

Substituindo u e u' na expressão de y' e simplificando, temos
y' = 14(x²+x)^-3/4,(2x+1) = 2x+14,(x²+x)^3/4²²

Resposta

y'=2x+14(x^2+x)^3/4

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