Utilizando a expansão em série de potências das funções envolvidas, calcule os seguintes limites:
lim x 0 arctan xx

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0arctan xx usando séries de potências. O conteúdo envolvido é expansão de Taylor/Maclaurin e vamos precisar da série em torno de zero de arctan x.

Passo 2

A expansão em série de Maclaurin de arctan x é dada por:
arctan x = x - x^33 + O(x^5)
Aqui usamos que O(x^5) representa termos de ordem igual ou superior a x^5.

Passo 3

Dividindo essa série por x, obtemos:
arctan xx = x - x^33 + O(x^5)x = 1 - x^23 + O(x^4)

Passo 4

Quando xto0, os termos -x^2/3 e O(x^4) tendem a zero. Portanto, o limite do quociente é o coeficiente constante da série resultante.

Resposta

1

Exercícios relacionados