Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
z=e^x y, x=3 t+1, y=t^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular dzdt quando
z = e^xy, x = 3t + 1, y = t^2,
usando a regra da cadeia para uma função de duas variáveis. Também pede dwdt para w=f(x,y,z), mas não foi dada nenhuma expressão para w, então não é possível calcular esse segundo derivado.

Passo 2

Vamos primeiro obter as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = partialpartial xl(e^xyr) = y,e^xy,
partial zpartial y = partialpartial yl(e^xyr) = x,e^xy

Passo 3

Em seguida calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = 3, dydt = 2t

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para z = z(x(t),y(t)), temos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dzdt = l(y,e^xyr)cdot 3 ;+;l(x,e^xyr)cdot 2t = l(3y + 2txr),e^xy
Finalmente, com x=3t+1 e y=t^2:
dzdt = l(3t^2 + 2t(3t+1)r),e^t^2(3t+1) = l(9t^2 + 2tr),e^t^2(3t+1)

Passo 6

Não podemos calcular dwdt porque a expressão de w=f(x,y,z) não foi fornecida.

Resposta

dzdt = l(9t^2 + 2tr),e^t^2(3t+1), dwdt não pode ser calculado (w não definido) ãã

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