Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=e^-x y^2 sen(z), x=t, y=2 t, z=3 t

Passo 1

O enunciado dá
w = e^-x,y^2,sen(z)
com as parametrizações
x(t)=t, y(t)=2t, z(t)=3t
O conteúdo aplicado é a regra da cadeia para função z=f(x,y) (aqui trivializada por z=3t) e para função de três variáveis w=f(x,y,z). Precisamos das derivadas de x,y,z e das derivadas parciais de w.

Passo 2

Como z(t)=3t, temos simplesmente
dzdt = 3

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de
w(x,y,z)=e^-x,y^2,sen(z)
Em particular:
partial wpartial x = partialpartial xl(e^-xy^2sen(z)r) = -e^-xy^2,sen(z),
partial wpartial y = partialpartial yl(e^-xy^2sen(z)r) = 2,e^-xy,sen(z),
partial wpartial z = partialpartial zl(e^-xy^2sen(z)r) = e^-xy^2,cos(z)

Passo 4

Pela regra da cadeia em três variáveis,
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt
Sabendo que dxdt=1 e dydt=2, e substituindo x=t, y=2t, z=3t, e dzdt=3, obtemos
dwdt = l(-e^-t(2t)^2sen(3t)r)cdot1 + l(2e^-t(2t)sen(3t)r)cdot2 + l(e^-t(2t)^2cos(3t)r)cdot3
Isso dá
dwdt = -4,t^2e^-tsen(3t) +8,t,e^-tsen(3t) +12,t^2e^-tcos(3t)

Resposta

dzdt=3, dwdt =-4,t^2e^-tsen(3t) +8,t,e^-tsen(3t) +12,t^2e^-tcos(3t)

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