Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=x y z, x=t^2, y=t^3, z=t^4

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
x(t)=t^2, y(t)=t^3, z(t)=t^4
e define
w=f(x,y,z)=x cdot y cdot z.
Queremos calcular dzdt usando a regra da cadeia para z=f(x,y) e dwdt usando a regra da cadeia para w=f(x,y,z).

Passo 2

A regra da cadeia para z=f(x,y) é
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
No nosso caso z não é função de x e y (ele está dado diretamente por t^4), então podemos derivar z(t) diretamente.

Passo 3

Derivando
z(t)=t^4
vem
dzdt =4,t^3

Passo 4

Para w=f(x,y,z) a regra da cadeia é
dwdt =partial wpartial x,dxdt +partial wpartial y,dydt +partial wpartial z,dzdt
Como w=x,y,z, temos
;partial wpartial x=y,z,; partial wpartial y=x,z,; partial wpartial z=x,y

Passo 5

Calculando as derivadas
dxdt=2t,;dydt=3t^2,;dzdt=4t^3
e substituindo em
dwdt =(y,z),2t+(x,z),3t^2+(x,y),4t^3
recebemos
dwdt =2tcdot t^3cdot t^4 +3t^2cdot t^2cdot t^4 +4t^3cdot t^2cdot t^3 =2t^8+3t^8+4t^8 =9t^8

Resposta

dzdt=4t^3 dwdt=9t^8

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