Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=x^2+y^2+z^2, x=e^t, y=e^t cos (t), z=e^t sen(t)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas dzdt e dwdt sabendo que
w = x^2 + y^2 + z^2, x = e^t, y = e^tcos t, z = e^tsen t
Vamos usar a regra do produto para dzdt e, em seguida, a regra da cadeia para dwdt.

Passo 2

Para dzdt, aplicamos a regra do produto em z(t)=e^tsen t:
dzdt =ddtl(e^tsen tr) =e^tsen t + e^tcos t =e^tl(sen t + cos tr)

Passo 3

Para dwdt, escrevemos w como função de (x,y,z). A regra da cadeia diz:
dwdt =partial wpartial x,dxdt +partial wpartial y,dydt +partial wpartial z,dzdt
Como w=x^2+y^2+z^2, temos
partial w/partial x=2x,
partial w/partial y=2y e
partial w/partial z=2z.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x,y,z em função de t:
dxdt=e^t, dydt=ddtl(e^tcos tr) =e^tcos t - e^tsen t, dzdt=e^tl(sen t+cos tr)
Logo
dwdt =2xcdot e^t +2yl(e^tcos t - e^tsen tr) +2zcdot e^tl(sen t+cos tr)

Passo 5

Substituindo x=e^t, y=e^tcos t, z=e^tsen t e fatorando e^2t:
dwdt =2e^2t +2e^2t(cos^2 t - cos t,sen t) +2e^2t(sen^2 t + sen t,cos t) =2e^2tl(1+cos^2 t+sen^2 tr) =2e^2tcdot2 =4e^2t

Resposta

dzdt=e^tl(sen t+cos tr), dwdt=4e^2t

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