Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=x^2+y^21+x^2+y^2+z^2, x=cos (t), y=sen(t), z=e^t

Passo 1

O enunciado nos dá as funções compostas
x(t)=cos(t), y(t)=sen(t), z(t)=e^t
e uma função de três variáveis
w=f(x,y,z)=x^2+y^21+x^2+y^2+z^2
O conteúdo aqui é a regra da cadeia em várias variáveis: primeiro para obter dzdt e depois para obter dwdt usando as derivadas parciais de f.

Passo 2

Como z(t)=e^t, a derivada de z em relação a t é
dzdt=ddtl(e^tr)=e^t

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de
f(x,y,z)=x^2+y^21+x^2+y^2+z^2.
fx =partialpartial xx^2+y^21+x^2+y^2+z^2 =2x,(1+x^2+y^2+z^2)-(x^2+y^2),2x(1+x^2+y^2+z^2)^2 =2x,(1+z^2)(1+x^2+y^2+z^2)^2
Analogamente,
fy =2y,(1+z^2)(1+x^2+y^2+z^2)^2, fz =partialpartial zx^2+y^21+dots+z^2 =-2z,(x^2+y^2)(1+x^2+y^2+z^2)^2

Passo 4

Pela regra da cadeia em três variáveis,
dwdt =fx,dxdt +fy,dydt +fz,dzdt
Como x=cos t e y=sen t, temos
dxdt=-sen t e dydt=cos t,
e de

Passo 5

dwdt =2x(1+z^2)D^2(-sen t) +2y(1+z^2)D^2(cos t) -2z(x^2+y^2)D^2,e^t,
onde D=1+x^2+y^2+z^2.

Passo 6

Finalmente, tomando x=cos t, y=sen t, z=e^t e x^2+y^2=1, D=1+1+e^2t=2+e^2t:
o primeiro termo é
2cos t,(1+e^2t)(2+e^2t)^2(-sen t) +2sen t,(1+e^2t)(2+e^2t)^2(cos t) =0
pois cos t,(-sen t)+sen t,cos t=0. Logo só sobra
dwdt =-2,e^t,(1)(2+e^2t)^2,e^t =-2,e^2t(2+e^2t)^2

Resposta

dzdt=e^t
dwdt=-2,e^2tl(2+e^2tr)^2

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