Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule dzdt e dwdt :
w=x+y+zx^2+y^2+z^2, x=cos (t), y=sen(t), z=e^t

Passo 1

Resumindo, temos as variáveis
x = cos(t), y = sen(t), z = e^t
e a função
w = x + y + zx^2 + y^2 + z^2
Queremos calcular tfracdzdt diretamente e depois tfracdwdt usando a regra da cadeia
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt

Passo 2

Derivando z=e^t em relação a t, temos
dzdt = ddtl(e^tr) = e^t

Passo 3

Também precisamos de
dxdt = ddtl(cos tr) = -sen t, dydt = ddtl(sen tr) = cos t

Passo 4

Chamando numerador N = x+y+z e denominador D = x^2+y^2+z^2, com w = N/D, aplicamos a regra do quociente para cada derivada parcial:
partial wpartial x = 1cdot D - Ncdot 2xD^2 = D - 2x,ND^2,
partial wpartial y = D - 2y,ND^2,
partial wpartial z = D - 2z,ND^2

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
dwdt = D - 2x,ND^2;(-sen t) + D - 2y,ND^2;(cos t) + D - 2z,ND^2;(e^t)
Finalmente, voltando a expressar x,y,z em função de t,
x = cos t, y = sen t, z = e^t, N = cos t + sen t + e^t, D = 1 + e^2t,
chegamos a
dwdt = l(1+e^2t-2cos t,Nr)(-,sen t) + l(1+e^2t-2sen t,Nr)cos t + l(1+e^2t-2e^t,Nr)e^t l(1+e^2tr)^2

Resposta

dzdt = e^t,
dwdt = l(1+e^2t-2cos t,(cos t+sen t+e^t)r)(-,sen t) + l(1+e^2t-2sen t,(cos t+sen t+e^t)r)cos t + l(1+e^2t-2e^t,(cos t+sen t+e^t)r)e^t l(1+e^2tr)^2

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