Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule:
partial zpartial t, partial zpartial s e partial wpartial t, partial wpartial s e partial wpartial r
z=cosh (yx), x=3 t^2 s, y=6 t e^s

Passo 1

O enunciado dá a função
z = coshl(yxr)
onde x e y dependem dos parâmetros t e s segundo
x = 3,t^2 s, y = 6,t,e^s
Pede-se partial z/partial t e partial z/partial s usando a regra da cadeia. Em seguida, quer partial w/partial t, partial w/partial s e partial w/partial r para uma função genérica w=f(x,y,z).

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de z em relação a x e y. Se definirmos
u = yx, z = cosh(u),
então
partial zpartial u = sinh(u)
Além disso,
partial upartial x = -yx^2, partial upartial y = 1x
Pela cadeia,
partial zpartial x = partial zpartial u,partial upartial x = sinhl(yxr),l(-yx^2r),
partial zpartial y = partial zpartial u,partial upartial y = sinhl(yxr),1x
Também precisamos de
partial xpartial t = 6,t,s, partial xpartial s = 3,t^2,
partial ypartial t = 6,e^s, partial ypartial s = 6,t,e^s

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia completa:
partial zpartial t = partial zpartial x,partial xpartial t + partial zpartial y,partial ypartial t = sinhl(tfracyxr)l(-tfracyx^2cdot6,t,s + tfrac1xcdot6,e^sr),
partial zpartial s = partial zpartial x,partial xpartial s + partial zpartial y,partial ypartial s = sinhl(tfracyxr)l(-tfracyx^2cdot3,t^2 + tfrac1xcdot6,t,e^sr)

Passo 4

Para calcular partial w/partial t, partial w/partial s e partial w/partial r seria necessário conhecer a definição explícita da função w=f(x,y,z). Como o enunciado não fornece essa fórmula, não há informação suficiente para obter essas derivadas.

Resposta

partial zpartial t = sinhl(tfracyxr)l(-tfrac6,t,s,yx^2 + tfrac6,e^sxr), partial zpartial s = sinhl(tfracyxr)l(-tfrac3,t^2,yx^2 + tfrac6,t,e^sxr)
Não é possível calcular partial w/partial t, partial w/partial s nem partial w/partial r pois w=f(x,y,z) não foi especificada.

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