Verifique se existe um campo vetorial
em
tal que
Explique.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A gente precisa verificar se existe um campo vetorial
em
cujo rotacional (ou “rot”) é igual ao vetor dado no enunciado. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre rotacional e divergente de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial
, denotado por
, nos dá uma medida de quanto o campo “gira” em torno de cada ponto. Agora, uma propriedade importante é que a divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Ou seja,
.
Passo 3
Então, para saber se existe um campo
tal que
seja igual ao vetor dado, a gente precisa verificar se a divergente desse vetor é igual a zero. Se sim, existe esse campo
; se não, não existe.
Passo 4
Vamos calcular a divergente do vetor dado:
A divergente de um vetor
é
.
Passo 5
Vamos calcular cada derivada parciais:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, somando as derivadas:
Ou seja, a divergente do campo vetorial dado é
, que não é zero.
Resposta
Como a divergente do campo vetorial não é zero, não existe um campo vetorial
em
tal que
seja igual ao vetor dado.