Verifique se existe um campo vetorial F em R^3 tal que
rot F=lang<= e^x+ln (1+y^2 z^4), raize^x+z^2+1-e^x y, e^x^3 y^2 ln (x^2 y^2+4)-5 zrang<=
Explique.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial. A gente precisa verificar se existe um campo vetorial F em R^3 cujo rotacional (ou “rot”) é igual ao vetor dado no enunciado. Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre rotacional e divergente de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial F , denotado por rot F , nos dá uma medida de quanto o campo “gira” em torno de cada ponto. Agora, uma propriedade importante é que a divergente do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero. Ou seja, div(rot F) = 0 .

Passo 3

Então, para saber se existe um campo F tal que rot F seja igual ao vetor dado, a gente precisa verificar se a divergente desse vetor é igual a zero. Se sim, existe esse campo F ; se não, não existe.

Passo 4

Vamos calcular a divergente do vetor dado:
div ( lang<= e^x + ln (1 + y^2 z^4), raize^x + z^2 + 1 - e^x y, e^x^3 y^2 ln (x^2 y^2 + 4) - 5 z rang<= )
A divergente de um vetor lang<= P, Q, R rang<= é partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z .

Passo 5

Vamos calcular cada derivada parciais:
  1. Para P = e^x + ln(1 + y^2 z^4) :
partial Ppartial x = e^x
  1. Para Q = raize^x + z^2 + 1 - e^x y :
partial Qpartial y = -e^x
  1. Para R = e^x^3 y^2 ln(x^2 y^2 + 4) - 5 z :
partial Rpartial z = -5

Passo 6

Agora, somando as derivadas:
div G = e^x + (-e^x) + (-5) = -5
Ou seja, a divergente do campo vetorial dado é -5 , que não é zero.

Resposta

Como a divergente do campo vetorial não é zero, não existe um campo vetorial F em R^3 tal que rot F seja igual ao vetor dado.

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